Skip to Content

Í þessari grein látum við bókstafina $m$ og $n$ standa fyrir tvær ákveðnar náttúrulegar tölur.

Samlagningar- og frádráttarjöfnur

Segjum að við höfum tvö söfn af hlutum, þar sem fjöldi hluta er annars vegar $m$ og hins vegar $n$. Þessi söfn eru hægra megin á myndinni að neðan.

þrjú söfn af hlutum þar sem fjöldi hluta er $m$, $n$ og $p$, eins og myndin að neðan sýnir.

Myndin lýsir ákveðnu sambandi milli talnanna $m$, $n$ og $p$, sem hægt er að túlka á þrjá ólíka vegu:

  1. $p=m+n$.
  2. $p-m=n$.
  3. $p-n=m$.

Þegar safni af $p$ hlutum er skipt í tvo hópa, þar sem annar hópurinn hefur $m$ hluti, þá eru $n$ hlutir í hinum hópnum. Samkvæmt skiptingartúlkun á frádráttur þýðir þetta að $p-m=n$. 3. Þegar safni af $p$ hlutum er skipt í tvo hópa, þar sem annar hópurinn hefur $n$ hluti, þá eru $m$ hlutir í hinum hópnum. Samkvæmt skiptingartúlkun á frádrætti þýðir þetta að $p-n=m$.

Með öðrum orðum eru allar

  1. $p=m+n$
  2. $p-m=n$
  3. $p-n=m$

Þessa einu mynd er hægt að túlka á ýmsa vegu eftir því hvort við lítum á hana samlagningufrádrætti

vegu

Myndin sýnir ákveðið samband milli talnanna $m$, $n$ og $p$, sem hægt er að lýsa á þrjá vegu út frá reikniaðgerðunum samlagningu og frádrætti:

  • [[

Myndin gefur til kynna ákveðið samband milli talnanna $m$, $n$ og $p$. Þetta samband er

Segjum að við höfum þrjú söfn af hlutum þar sem fjöldi hluta í söfnunum eru $m$, $n$ og $p$, eins og myndin að ofan sýnir.

Náin tengsl eru milli samlagningar og frádráttar, sem fjallað verður um í þessari grein.

Við getum einnig hugsað frádrátt á aðeins annan hátt. Í stað þess að hugsa okkur að við höfum safn af $m$ hlutum og fjarlægjum $n$ hluti úr því getum við allt eins hugsað okkur að við skiptum $m$ hluta safninu í tvo hópa, þar sem annar hópurinn hefur $n$ hluti. Fjöldi hluta í hinum hópnum er þá augljóslega $m-n$.

Ef litið er á frádrátt með þessum hætti koma jafnframt í ljós athyglisverð tengsl samlagningar og frádráttar. Við vitum nefnilega að ef við sameinum hópana tvo á hægri hönd, sem hafa $n$ appelsínur annars vegar og $m-n$ appelsínur hins vegar, fáum við safnið á vinstri hönd, sem hefur $m$ hluti. Þetta þýðir samkvæmt skilgreiningu á samlagningu að \[ n + (m-n) = m. \] Við getum því lýst mismuninum $m-n$ á eftirfarandi hátt: Hann er sú tala sem þarf að bæta við $n$ til að fá út $m$. Þannig er hægt að leysa frádráttarverkefni með því að nota samlagningu.

Dæmi:   Segjum að við ætlum að finna mismun talnanna $19$ og $11$ með því að nota samlagningu. Við viljum þá svara eftirfarandi spurningu: Hverju þurfum við að bæta við $11$ svo út komi $19$?

Við höfum fjórar aðferðir til að bæta náttúrulegri tölu $n$ við náttúrulega tölu $m$, eins og fjallað var um í greininni um samlagningu. Skiptum dæminu nú í fernt, þar sem við sýnum hvernig leysa megi dæmið með því að nota sérhverja af þessum fjórum aðferðum.

  1. Ef við notum fyrstu aðferðina, sem er að fara eftir skilgreinigunni á samlagningu, ímyndum við okkur að við höfum $11$ appelsínur og spyrjum okkur: Hvað þurfum við að bæta mörgum appelsínum við svo þær verði $19$?

    Á myndinni til vinstri má sjá $11$ appelsínur og á myndinni til hægri eru $19$ appelsínur. Við sjáum að við þurftum að bæta $8$ appelsínum við $11$ appelsínurnar til að þær yrðu $19$, svo mismunur talnanna $19$ og $11$ er $8$. Þetta má einnig skrifa svona: \[ 19-11=8. \]
  2. Ef við notum aðra samlagningaraðferðina, sem er að nota talningu, spyrjum við okkur: Hvað þurfum við að telja margar tölur upp frá $11$ til að komast í $19$? Teljum: \[ 12,13,14,15,16,17,18,19. \] Eins og sést þurfum við að telja $8$ tölur upp frá $11$ til að komast í $19$, svo mismunur talnanna $19$ og $11$ er $8$.
  3. Ef við notum þriðju samlagningaraðferðina, sem er að nota talnalínu, byrjum við í tölunni $11$ á talnalínunni og spyrjum okkur: Hversu mörg einingarskref þurfum við að fara frá tölunni $11$ á talnalínunni til að komast yfir í töluna $19$?

    Við sjáum að við þurfum $8$ skref til að komast frá $11$ til $19$, svo mismunur talnanna $19$ og $11$ er $8$.
  4. Ef við notum loks fjórðu samlagningaraðferðina, sem er að nota tvær talnalínur í sameiningu, leggjum við upphafspunkt seinni talnalínunnar við töluna $11$ á fyrri talnalínunni og látum báðar talnalínur snúa í sömu átt. Síðan spyrjum við okkur: Hvaða tala á seinni talnalínunni lendir á sama stað og talan $19$ á fyrri talnalínunni?

    Við sáum að talan $8$ á fyrri talnalínunni lendir á sama stað og $19$ á seinni, svo mismunur talnanna $19$ og $11$ er $8$.

Einnig er sniðugt að nota tengsl samlagningar og frádráttar til að prófa svar úr frádráttarverkefni sem hefur verið leyst með einhverjum öðrum hætti.

Dæmi:   Í fyrsta sýnidæminu í síðustu grein fengum við að $37-15=22$. Við vitum að mismunurinn $22$ hefur þann eiginleika að þegar honum er bætt við $15$ fæst út $22$. Við getum þess vegna athugað hvort svarið okkar sé rétt með því að athuga hvort \[ 15+22=37. \] Um leið og við höfum gengið úr skugga um að þetta sé rétt getum við verið viss um að $37-15=22$ sé líka rétt.