1997-98 | stæ.is

Dæmi 9 Efra stig 1997-1998

Talan 1.000.000 er rituð sem margfeldi af tveimur jákvæðum heilum tölum þannig að tölustafurinn 0 komi fyrir í hvorugri tölunni. Minni talan er

Lausn

Svar: $64$

Lausn: Þegar talan $1.000.000$ er rituð sem margfeldi frumtalna fæst að $1.000.000 = 2^6 \cdot 5^6$. Ef bæði $2$ og $5$ ganga upp í tölu, þá gengur $10$ upp í henni og hún endar á $0$. Eina leiðin til að skrifa $1.000.000$ sem margfeldi tveggja jákvæðra heiltalna þar sem tölustafurinn $0$ kemur fyrir í hvorugri er því að önnur sé $2^6$ og hin $5^6$. Minni talan er þá $2^6 =64$.

Dæmi 8 Efra stig 1997-1998

Í nefnd eru fjórir menn: Einar, Friðrik, Lárus og Rögnvaldur. Um hvern þeirra er vitað að annaðhvort segir hann alltaf satt, eða lýgur alltaf. Fundargerð síðasta nefndarfundar lítur svona út:

Fundur settur.
Einar segir við Friðrik: „Þú ert lygari.“
Rögnvaldur segir við Einar: „Þú ert sjálfur lygari.“
Lárus segir við Rögnvald: „Þeir eru báðir lygarar.“
Skömmu síðar heldur Lárus áfram og segir við Rögnvald: „Þú ert líka lygari.“
Fleira gerðist ekki. Fundi slitið.

Hver eftirfarandi fullyrðinga er rétt (miðað við að fundargerðin sé rétt)?

Lausn

Svar: Einar og Lárus eru lygarar.

Lausn: Einar og Lárus eru lygarar. Lausn: Er mögulegt að Einar segi satt? Ef Einar segir satt, þá er Friðrik lygari því Einar segir það og einnig er Rögnvaldur lygari því hann segir að Einar ljúgi. Fyrri staðhæfing Lárusar, um að Einar og Friðrik séu lygarar, er því lygi og samkvæmt því er Lárus lygari. Aftur á móti er seinni staðhæfing Lárusar, að Rögnvaldur sé lygari, sönn, og samkvæmt því er Lárus ekki lygari. Þetta fær ekki staðist, svo útilokað er að Einar segi satt.

Við getum nú gengið út frá því að Einar ljúgi. Þá vitum við að Friðrik er ekki lygari, því að staðhæfing Einars um að Friðrik sé lygari er lygi. Einnig sjáum við að Rögnvaldur er ekki lygari, því að fullyrðing hans um að Einar sé lygari er sönn. Lárus lýgur þegar hann segir að bæði Einar og Friðrik séu lygarar. Því eru það Einar og Lárus sem eru lygarar, en Friðrik og Rögnvaldur segja alltaf satt. (Í hópnum sem samdi þessa keppni eru fjórir menn sem heita einmitt Einar, Friðrik, Lárus og Rögnvaldur. Þegar þeir voru spurðir hvort að í dæminu væri verið að fjalla um þá sögðu tveir já, en tveir neituðu.)

Dæmi 7 Efra stig 1997-1998

Við búum til spíral með því að skeyta saman hálfhringum. Byrjum með hálfhring með þvermál $2$, næst tökum við hálfhring með þvermál $3$, þar á eftir hálfhring með þvermál $4$, o.s.frv. (sjá mynd). Hvað er spírallinn langur þegar við höfum skeytt saman $100$ hálfhringum?

Lausn

Svar: $ 2575 \pi $

Lausn: Geisli hrings með þvermálið $n$ er $\frac{n}{2}$ og ummálið er því $2\cdot \frac{n}{2}\cdot \pi = n\cdot \pi$. Lengd boga hálfhrings með þvermál $n$ er jafnt hálfu ummáli hrings með sama þvermál, svo lengd hálfhringsins er $\frac{n}{2}\cdot \pi$. Við byrjum á hálfhring með þvermál $2$ og endum á hálfhring með þvermálið $101$. Lengd spíralsins er samanlögð lengd allra hálfhringanna, og er jöfn \[ \frac{\pi}{2}\cdot (2+3+\cdots + 101) = \frac{\pi}{2}\frac{100\cdot(2 + 101)}{2}=2575\pi \]

Dæmi 6 Efra stig 1997-1998

Í körfuboltakeppni, þar sem hvert lið leikur einn leik á móti hverju hinna, vann sigurliðið alla leiki sína nema einn, neðsta liðið tapaði öllum leikjum sínum nema einum, og hin liðin unnu fjóra leiki hvert. (Athugið að í körfubolta lýkur leik aldrei með jafntefli.) Hve mörg voru liðin?

Lausn

Svar:9

Lausn: Látum $n$ tákna fjölda liða. Hvert lið leikur einn leik á móti hverju hinna og leikur því $n - 1$ leik. Því eru alls leiknir $\frac{n\cdot (n - 1)}{2}$ leikir á mótinu. Heildarfjöldi vinninga sem liðin fá er því $\frac{n\cdot (n - 1)}{2}$. Upplýsingar okkar segja að efsta liðið fékk $n - 2$ vinninga, neðsta liðið fékk $1$ vinning, og hin liðin, $n - 2$ að tölu, fengu $4$ vinninga hvert. Heildar fjöldi vinninga er því $(n-2)+1+(n-2)\cdot 4=5 n - 9$. Fáum þá jöfnuna \[ \frac{n\cdot (n - 1)}{2} = 5n - 9 , \] Sem er jafngild jöfnunni $n^2 - 11n + 18 =0$. Þegar þessi jafna er leyst fæst að $n=2$ eða $n=9$. Það að bara tvö lið hafi verið í mótinu fær ekki staðist, þá er bara leikinn einn leikur og samkvæmt forsendunum þá vinnur neðsta liðið þann leik og er því ekki neðst! Liðin eru því $9$.

Dæmi 5 Efra stig 1997-1998

Hvað eru til margir þríhyrningar þannig að lengdir allra hliðanna séu heilar tölur og ummálið sé 10?

Lausn

Svar: $2$

Lausn: Ef $a, b, c$ eru hliðarlengdir í þríhyrningi, þá verður að gilda að $a+b \gt c$, $a+c \gt b$ og $b+c \gt a$. Inntak þessara jafna er sú staðreynd að stysta leið á milli tveggja punkta er bein lína. Nú er ein hliðin að minnsta kosti $4$ því ef hver hlið í þríhyrningi er minni eða jöfn $3$, þá er ummálið minna eða jafnt $9$. Ef hinsvegar ein hliðin er $5$, þá er summa hinna $10 - 5 = 5$ í mótsögn við að summa lengda tveggja hliða sé ávallt stærri en lengd þriðju hliðarinnar. Því hefur ein hliðin lengd $4$, lengdir hinna tveggja eru minni eða jafnar $4$ og summa þeirra er $10 - 4 = 6$. Til greina koma þá þríhyrningar með hliðarlengdir $3, 3, 4$ og hliðarlengdir $2, 4, 4$. Ljóst er að slíkir þríhyrningar eru til.

Dæmi 4 Efra stig 1997-1998

Rétthyrningi er skipt í 4 minni rétthyrninga með tveimur strikum sem eru samsíða hliðum rétthyrningsins (sjá mynd). Ummál þriggja þeirra eru gefin á myndinni. Hvert er ummál fjórða rétthyrningsins?

Lausn

Svar: 4

Lausn: Ummál upphaflega rétthyrningsins er greinilega jafnt samanlögðu ummáli hvors sem er af rétthyrningapörunum sem eru við gagnstæð horn. Því er ummál stóra rétthyrningsins jafnt $2 + 3 = 5 c m$. Samanlagt ummál rétthyrningsins í efra horninu til hægri og þess rétthyrnings sem spurt er um er því $5 c m$. Ummál rétthyrningsins sem spurt er um er því $5-1 = 4 c m $.

Dæmi 3 Efra stig 1997-1998

Þú ert með lykla að þrennum dyrum, $A,B$ og $C$, í höndunum, en veist ekki hvaða lykill gengur að hvaða dyrum. Þú vilt prófa lyklana til að geta merkt þá rétt. Hver er minnsti fjöldi tilrauna sem þú getur fyrirfram sagt með vissu að dugi til að komast að því hvernig á að merkja lyklana, óháð því hvernig einstaka tilraunir fara?

Lausn

Svar: $3$

Lausn: Byrjum á að athuga hvað við þyrftum margar tilraunir ef lyklarnir væru tveir og tvennar dyr, merktar með $A$ og $B$. Byrjum á að prófa annan lykilinn á dyrum $A$. Ef þær ljúkast upp, þá getum við merkt lykilinn sem við prófuðum með $A$ og hinn með $B$. Ef fyrsta prófunin gengur ekki, þá vitum við að lykillinn sem við prófuðum gengur að dyrum $B$ og hinn gengur að $A$. Því dugar ein prófun ef lyklarnir eru tveir og dyrnar aðeins tvær.

Snúum okkur nú að verkefninu í dæminu þar sem lyklarnir eru þrír og dyrnar þrjár. Prófum fyrsta lykilinn á dyrum $A$. Ef það gengur þá getum við merkt fyrsta lykilinn og við eru með tvo lykla og tvennar dyr fyrir framan okkur og við vitum að þá dugar ein tilraun. Í þessu tilfelli komumst við því af með tvær tilraunir.

Gerum nú ráð fyrir að fyrsti lykillinn sem við prófum gangi ekki að dyrum $A$. Prófum hann þá á dyrum $B$. Ef hann gengur að dyrum $B$ þá erum við aftur komin í þá stöðu að hafa tvo lykla og tvennar dyr. Því dugar ein tilraun í viðbót. Allt í allt þurftum við þrjár tilraunir.

Ef aftur á móti lykillinn gengur ekki heldur að dyrum $B$, þá getum við verið viss, án þess að prófa, að hann gengur að dyrum $C$. Nú höfum við tvo lykla eftir sem ganga að dyrum $A$ og $B$. Okkur dugar ein tilraun til að finna út að hvaða dyrum hvor lyklanna gengur. Aftur höfum við notað þrjár tilraunir.

Við getum þá verið viss um að þrjár tilraunir duga. Tvær tilraunir duga hins vegar ekki. Ef við prófum tvo lykla á sömu dyrunum og hvorugur gengur, þá vitum við að þriðji lykillinn gengur að þeim og við höfum tvo lykla og tvær dyr eftir en ekki fleiri tilraunir.

Dæmi 2 Efra stig 1997-1998

Fjórir punktar $P , Q , R , S$ liggja á beinni línu í planinu með eins kílómetra millibili (sjá mynd). Fara þarf á milli punktanna $P$ og $S$ þannig að fjarlægðin til $Q$ og $R$ verði aldrei minni en 1 kílómetri. Hve langa leið þarf að fara hið minnsta (í kílómetrum)?

Lausn

Svar: $ 1 + \pi $

Lausn: Leiðin verður að liggja utan hringskífunnar sem hefur miðju í $Q$ og geisla 1, og sömu leiðis utan hringskífunnar sem hefur miðju í $R$ og geisla 1. Athugið að leyfilegt er að fara eftir jöðrum hringskífanna. Stysta leiðin er að fara eftir jaðri hringskífunnar frá $P$ til $T$ , fara svo eftir beinni línu frá $T$ til $U$ og fylgja svo jaðri hringskífunnar frá $U$ til $S$. Ummál hrings með geisla $r$ er $2 \pi r$, og lengd bogans frá $P$ til $T$ er fjórðungur af ummáli hrings með geisla $1$. Lengd hringbogans frá $P$ til $T$ er $\frac{1}{2} \pi$, línustrikið frá $T$ til $U$ hefur lengd $1$, og hringboginn frá $U$ til $T$ hefur lengd $\frac{1}{2} \pi$. Lengd leiðarinnar er þá $\frac{1}{2} \pi+1+\frac{1}{2} \pi=1+\pi $. (Einnig er hægt að fara samskonar leið fyrir neðan strikið á milli $P$ og $S$.)

Dæmi 1 Efra stig 1997-1998

Krossið við þá jöfnu sem samsvarar eftirfarandi staðhæfingu.
Þreföld summan af 5 og þriðjungnum af 9 er fjórðungur mismunarins á 100 og 4

Lausn

Svar: $3 \cdot (5 + \frac{1}{3} \cdot 9) = \frac{1}{4} \cdot (100 - 4)$.

Lausn: Summa $5$ og þriðjungs $9$ er $5 + \frac{1}{3}\cdot 9$ og þreföld þessi stærð er $3\cdot (5 + \frac{1}{3}\cdot 9)$. Hún er jöfn fjórða hluta mismunar $100$ og $4$, það er fjórða hluta $100 - 4$ sem er $\frac{1}{4}\cdot (100 - 4)$. (Þetta er dæmi úr Dæmasafn fyrir Alþýðu- og Gagnfræðiskóla eftir Guðmund Arnlaugsson og Þorstein Egilsson, sem gefið var út 1938.)