Skip to Content

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun. Ef $f$ varpar ólíkum stökum úr skilgreiningarmenginu $X$ í ólík stök úr bakmenginu $Y$, þ.e. ef fyrir sérhver $x_1, x_2 \in X$ með $x_1 \neq x_2$ gildir að $f(x_1) \neq f(x_2)$, er sagt að $f$ sé eintæk.

Að $f$ varpi ólíkum stökum úr $X$ í ólík stök úr $Y$ má einnig orða svo að ef $f$ varpar tveimur stökum $x_1$ og $x_2$ úr $X$ í sama stakið úr $Y$, þá verði $x_1$ og $x_2$ að vera sama stakið. Með öðrum orðum er $f$ eintæk ef og aðeins ef fyrir sérhver $x_1, x_2 \in X$ með $f(x_1) = f(x_2)$ gildir að $x_1 = x_2$. Þegar sýna á að tiltekin vörpun sé eintæk er oft einfaldara að nota þetta skilyrði en það fyrra.

Venn-myndirnar að neðan sýna tvær varpanir $f: X \to Y$ og $g: Z \to W$. Vörpunin $f$ er eintæk því hún varpar ólíkum stökum úr $X$ í ólík stök úr $Y$. Hins vegar er $g$ ekki eintæk því hún varpar tveimur efstu stökunum úr $Z$ í sama stakið í $W$.

Dæmi:   Fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = 2 x$ er eintækt því ef $x_1$ og $x_2$ eru tvö stök úr $\mathbb{R}$ með $f(x_1) = f(x_2)$, þá fæst skv. forskrift $f$ að $2 x_1 = 2 x_2$ og deiling með $2$ gefur að $x_1 = x_2$.

Dæmi:   Vörpunin $g: [0, \infty[ \to \mathbb{R}$; $g(x) = \sqrt{x}$ er eintæk því ef $x_1$ og $x_2$ eru tvö stök úr $[0, \infty[$ með $g(x_1) = g(x_2)$, þá gefur forskrift $g$ að $\sqrt{x_1} = \sqrt{x_2}$ og með því að hefja báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi fæst að $x_1 = x_2$.

Dæmi:   Vörpunin $h: \mathbb{R} \to [0, \infty[$; $h(x) = x^2$ er ekki eintæk því til dæmis er $h(-3) = (-3)^2 = 9$ og $h(3) = 3^2 = 9$, þ.e. $-3$ og $3$ eru ólík stök úr $\mathbb{R}$ sem varpast í sama stakið úr $[0, \infty[$.