1996-97 | stæ.is

Dæmi 19. Efra stig 1996-97

Gefið er að $x, y, z$ eru jákvæðar tölur og að $xyz=1$. Einnig er vitað að $x+y+z\gt \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Sannið að ein af þessu tölum er stærri en 1 og að hinar tvær eru minni en 1.

Lausn

Tökum fyrst eftir, þar sem $xyz=1$, að $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)xyz=yz+xz+xy.$$ Við notum nú þessa jöfnu og forsenduna um að $xyz=1$ við eftirfarandi umskrift $$ \begin{aligned} (x-1)(y-1)(z-1) &= xyz+(x+y+z)-(yz+xz+xy)-1\\ &= (x+y+z)-(yz+xz+xy)\\ &= (x+y+z)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right). \end{aligned} $$ En þá sést að $$(x+y+z)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\gt 0,$$ þá og því aðeins að nákvæmlega tvær talnanna $x, y$ og $z$ eru minni en $1$.

Dæmi 18. Neðra stig 1996-97

Tölurnar frá $1$ upp í $999$, að báðum meðtöldum, eru skrifaðar á blað. Hver er summa allra tölustafanna?

Lausn

Summa tölustafanna breytist ekki þó við byrjum á $0$ í stað $1$ og bætum $0$-um fyrir framan eins og tveggja stafa tölur þannig að allar tölurnar séu þriggja stafa. Nú er ljóst að við höfum skrifað alla tölustafina $0,1,\ldots, 9$ jafn oft. Þar sem við höfum alls skrifað $3000$ tölustafi þá hefur hver verið skrifaður $300$ sinnum og summa þeirra allra því $$300\cdot(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=300\cdot 45=13.500.$$

Dæmi 19. Neðra stig 1996-97

Tölurnar $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ eru núllstöðvar margliðunnar $$P(x)=x^7+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_4x^2+a_5x+a_6$$ Í upptalninguna á núllstöðvunum vantar eina núllstöð, hver er hún?

Lausn

Almennt gildir að ef $r_1,\ldots,r_n$ eru núllstöðvar $n$-ta stigs margliðu $Q(x)$ með forystustuðul $1$, þá er $$ \begin{aligned} Q(x)&=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\\ &=x^n-(r_1+\cdots+r_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nr_1\cdots r_n. \end{aligned} $$ Stuðullinn við næst hæsta veldið er því alltaf summa núllstöðvanna með öfugu formerki. Í margliðunni $P(x)$ er stuðullinn við næst hæsta veldið $0$, svo að summa núllstöðvanna er $0$. Því er núllstöðin sem vantar $-21$.

Dæmi 20. Neðra stig 1996-97

Á myndinni má sjá hring með miðju í $A$ og geisla $9$, og annan minni hring með miðju í $D$ og geisla $4$. Sameiginlegir snertlar $B C$ og $E F$ eru dregnir. Ákvarðið lengd $E F$

Lausn

Skurðpunktur tveggja snertla við hring hefur sömu fjarlægð frá snertipunktunum. Því er $|E F|=|B F|$ og $|E F|=|F C|$. Þá er $|B C|=|B F|+|F C|=2\cdot |E F|$. Drögum nú línu í gegnum $D$ sem er samsíða $B C$ og táknum skurðpunkt þessarar línu við $A B$ með $G$. Þá er $|B C|=|G D|$. Lengd $G D$ má reikna með reglu Pýþagorasar, $$|D G|=\sqrt{|A D|^2-|A G|^2}=\sqrt{(9+4)^2-(9-4)^2} =\sqrt{4\cdot4\cdot9}=12.$$ Þá er $2\cdot |EF|=12$, svo $|EF|=6$.

Dæmi 21. Neðra stig 1996-97

Reitir í $n \times n$ borði eru númeraðir með tölunum frá $1$ upp í $n^2$ á sama hátt og sýnt er í dæminu fyrir $n=5$ hér til hliðar. Nú er valin ein tala úr hverri röð, en þó þannig að engar tvær þeirra séu í sama dálki. Hvaða útkomur eru mögulegar þegar völdu tölurnar eru lagðar saman?

Lausn

Hver reitur ákvarðast af dálknúmeri sínu, $i$, á bilinu frá $1$ upp í $n$, og línunúmeri sínu, $j$, sem við veljum þannig að fyrsta röðin fær númerið $0$, svo að $j$ liggur á bilinu frá $0$ upp í $n-1$. Talan í reit með dálknúmeri $i$ og línunúmeri $j$ er þá $i+jn$. Hvert dálknúmer kemur nákvæmlega einu sinni fyrir og hvert línunúmer kemur líka nákvæmlega einu sinni fyrir í völdu tölunum svo að summan verður $$ \begin{aligned} &\underbrace{1+2+\cdots+n}_{\text{dálknúmer}} +\underbrace{0+n+2n+\cdots+(n-1)n}_{\text{línunúmer}} \\ =&(1+2+\cdots+n)+(0+1+\cdots+(n-1))n\\ =&\frac{1}{2}n(n+1)+\frac{1}{2}(n-1)n^2 \\ =&\frac{1}{2}n(n^2+1). \end{aligned} $$ Þegar $n=5$, þá er svarið $65$.

Dæmi 22. Neðra stig 1996-97

Þrír hringir liggja eins og sýnt er á myndinni. Miðjur minni hringanna tveggja liggja á miðstreng þess stóra. Einnig er gefið að lengd striksins $P Q$ er $8$, og $P Q$ er snertill við báða minni hringina. Reiknið flatarmál skyggða svæðisins.

Lausn

Táknum miðjur hringanna með $O, O_1$ og $O_2$, en geislar þeirra með $r, r_1$ og $r_2$ eins og sýnt er á myndinni. Látum $M$ tákna miðpunkt striksins $P Q$ og $x$ lengd striksins $O M$. Þá er $r=r_1+r_2$ og ennfremur er $$ \begin{aligned} r^2&=x^2+|MP|^2=x^2+16,\ 2r_1=r+x, \\ 2r_2&=r-x. \end{aligned} $$ Flatarmálið á skyggða svæðinu fæst með því að draga flatarmál litlu hringanna tveggja frá flatarmáli stóra hringsins, og er $$ \begin{aligned} \pi(r^2-r_1^2-r_2^2) & = \pi((r_1+r_2)^2-r_1^2-r_2^2) = 2\pi r_1r_2 \\ &=2\pi\cdot\frac{r+x}{2}\cdot\frac{r-x}{2} = 2\pi\frac{1}{4}(r^2-x^2)= \frac{1}{2}\pi\cdot 16 = 8\pi. \end{aligned} $$

Dæmi 12. Neðra stig 1996-97

Fimm punktar á hring eru númeraðir $1$, $2$, $3$, $4$ og $5$ eins og sýnt er á myndinni. Fló hoppar á milli punktanna réttsælis þannig að ef hún er í punkti með oddatölunúmeri, þá hoppar hún í næsta punkt, en ef númer punktsins er slétt tala þá hoppar hún yfir einn punkt. Ef flóin byrjar í punkti $5$, í hvaða punkti verður hún þá eftir $1996$ hopp?

Lausn

Flóin hoppar frá $5$ yfir í $1$, þaðan yfir í $2$ og þaðan yfir í $4$ og svo aftur yfir í $1$. Einu punktarnir sem koma til greina eru $1$, $2$ og $4$. Eftir $1, 4, 7,\ldots$ hopp er hún í $1$, eftir $2, 5, 8,\ldots$ hopp er hún í $2$ og eftir $3, 6, 9,\ldots$ hopp er hún í $4$. Til að finna hvar hún er eftir $1996$ hopp, þá deilum við $3$ upp í $1996$ og athugum afganginn. Hann er $1$ svo að flóin hoppglaða er í punkti $1$.

Dæmi 13. Neðra stig 1996-97

Innan í hring með geisla $2$ liggja tveir hringir með geisla $1$ þannig að þeir snertast í miðpunkti stóra hringsins. Til viðbótar er svo dreginn fjórði hringurinn eins og sýnt er á myndinni. Hver er geisli minnsta hringsins?

Lausn

Látum $r$ tákna geisla minnsta hringsins og látum $A, B$ og $C$ vera miðpunkta hringanna með geisla $r$, 1 og 2. Nú er þríhyrningurinn $A B C$ rétthyrndur svo að regla Pýþagorasar gefur að $$(1+r)^2=|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2=1+(2-r)^2.$$ Þegar við einföldum þessa jöfnu fæst að $6r=4$ þannig að $r=\frac{2}{3}$.

Dæmi 14. Neðra stig 1996-97

Fjarlægðin á milli tveggja nærliggjandi punkta á myndinni er $1$. Hvert er flatarmál skyggða svæðisins?

Lausn

Skiptum svæðinu upp eins og sýnt er á myndinni. Flatarmál minni svæðanna er þá eins og merkt er á myndinni og flatarmál stóra svæðisins því $4+2\cdot 3+5\cdot 1=15$.

Hér mætti einnig nota setningu Picks. Hún segir að flatarmál marghyrnings með hornpunkta sem hafa heiltöluhnit sé $I+R/2-1$ þar sem $I$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit innan í marghyrningnum og $R$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit á jaðri hans. Fáum þá að $9+14/2-1=9+7-1=15$.

Dæmi 15. Neðra stig 1996-97

Á myndinni hér fyrir neðan má sjá ellefu ferningslaga spjöld sem hafa verið lögð á borð. Í hvaða röð voru fyrstu sjö spjöldin lögð á borðið?

Lausn

Lítum á spjald $F$. Undir því liggur spjald $E$, sem aftur liggur ofan á spjaldi $D$. Spjöld $C$ og $G$ liggja bæði undir $D$. Ef spjald $G$ lægi ofaná spjaldi $C$, þá myndi sjást í spjald $G$ milli spjalda $B$ og $D$. Svo er hinsvegar ekki og því liggur spjald $C$ ofan á spjaldi $G$. Þau spjöld sem við höfum þegar nefnt voru því lögð niður í röðinni $G$, $C$, $D$, $E$, $F$. Nú er spjald $A$ undir spjaldi $B$, spjald $I$ undir spjaldi $A$ og spjald $J$ undir spjaldi $I$. Spjöldin $H$, $K$ og $F$ eru öll undir spjaldi $J$. Nú sést í hornið á spjaldi $H$ milli spjalda $J$ og $B$ ofan á spjaldi $F$ og því liggur spjald $H$ ofan á spjaldi $F$ og ljóst er að spjald $K$ liggur ofan á spjaldi $H$. Sjáum þá að síðustu $7$ spjöldin voru lögð á borðið í röðinni $F$, $H$, $K$, $J$, $I$, $A$, $B$.