1996-97 | stæ.is

Dæmi 16. Neðra stig 1996-97

Í Langtíburtistan er haldin stærðfræðikeppni sem í eru $25$ dæmi. Fyrir rétt svar eru gefin $4$ stig en eitt stig er dregið frá fyrir rangt svar. Keppandi sem svaraði öllum spurningunum fékk $70$ stig. Hvað svaraði hann mörgum spurningum rétt?

Lausn

Ef keppandinn svaraði $x$ dæmum rétt, þá svaraði hann $25-x$ dæmum rangt því hann svaraði öllum dæmunum í keppninni. Hann hlaut þá $4x$ stig fyrir rétt svör en frá voru dregin $25-x$ stig fyrir röng svör. Hann hlaut $70$ stig svo að $4x-(25-x)=70$. Þá er $5x=95$ svo að $x=19$.

Dæmi 17. Neðra stig 1996-97

Klukkan $10$ fyrir hádegi hleypur hlaupari af stað í norðurátt frá punkti $A$. Hraði hans er $10$ km á klukkustund. Hálftíma síðar hjólar hjólreiðamaður af stað frá punkti $B$ sem er $25$ km austan við $A$. Hjólreiðamaðurinn hjólar í norðvestur átt. Nú vill svo til að hlauparinn og hjólreiðamaðurinn hittast. Hver var hraði hjólreiðamannsins?

Lausn

Köllum staðinn sem þeir mætast í $C$. Þá er $A B C$ rétthyrndur jafnarma þríhyrningur með skammhliðar sem eru 25 km og langhlið sem er $\sqrt{2}\cdot 25$ km. Vegalengdin $|A C|$ sem hlauparinn hefur farið þegar þeir hittast er þá $25$ km og það hefur tekið hann $2,5$ klukkustund að hlaupa hana þar sem hann fer 10 kílómetra á klukkustund. Hjólreiðamaðurinn lagði hálftíma seinna af stað svo það hefur tekið hann $2$ klukkustundir að fara $|B C|=\sqrt{2}\cdot 25$ km. Hraði hjólreiðamannsins er því $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 25$ km á klukkustund.

Dæmi 4. Neðra stig 1996-97

Ef $m=\frac{a b c}{a-b}$, þá er $b$ jafnt

Lausn

Ef $m=\frac{a b c}{a-b}$, þá er $(a-b)m=a b c$ svo að $m a=m b+a b c=b(m+a c)$ og því er $b=\frac{m a}{m+a c}$.

Dæmi 5. Neðra stig 1996-97

Rúta keyrir eftir vegi á $72$ km hraða á klukkustund. Fram úr henni fer trukkur sem keyrir á $90$ km hraða á klukkustund. Jörmunrekur situr í rútunni og tekur eftir því að trukkurinn er nákvæmlega $2$ sekúndur að fara fram hjá honum. Hve langur er trukkurinn?

Lausn

Við getum hugsað okkur að rútan sé kyrrstæð og trukkurinn fari fram hjá á hraðanum $90-72=18$ km á klukkustund. Lengd trukksins er sú vegalengd sem hann fer á $2$ sekúndum. Nú er $$ 18\,\text{km/klst}=\frac{18000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}=5\,\text{m/s}$$ svo að lengd trukksins er $5\,\text{m/s}\cdot 2\,\text{s}=10\,\text{m}$.

Dæmi 6. Neðra stig 1996-97

Krossinn hér til hliðar er búinn til úr $6$ eins ferningum. Ummál hans er $7$. Hvert er flatarmál hans?

Lausn

Ummál krossins er fjórtánföld hliðarlengd ferninganna. Gefið er að ummálið er $7$ svo að hliðarlengd ferninganna er $7/14=\text{0,5}$. Flatarmál hvers fernings er þá $(\text{0,5})^2=\text{0,25}$ og flatarmál krossins alls því $6\cdot \text{0,25}=\text{1,5}$.

Dæmi 7. Neðra stig 1996-97

Í þríhyrningnum $A B C$ er hornið $\angle C$ rétt, $|A C|=6$ og $|B C|=8$. Punktur $D$ liggur á hliðinni $A B$ og punktur $E$ á hliðinni $B C$, þannig að $\angle B E D=90^\circ$. Ef $|D E|=4$, þá er lengd striksins $B D$ jöfn

Lausn

Regla Pýþagorasar gefur að $$|A B|=\sqrt{|A C|^2+|B C|^2}=\sqrt{36+64}=10.$$ Nú eru þríhyrningarnir $A B C$ og $D B E$ einslaga þar sem $\angle D B E=\angle A B C$ og hornin $\angle B E D$, $\angle B C A$ eru bæði rétt. Þessvegna er $$ \frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{|D E|}{|A C|}=\frac{|B D|}{|A B|}=\frac{|B D|}{10},$$ svo að $|B D|=\frac{20}{3}$.

Dæmi 8. Neðra stig 1996-97

Þversumma tölunnar $10^{96}-96$ er

Lausn

Sjáum að $$ 10^{96}-96=1\underbrace{00\cdots0}_{96}-96=\underbrace{99\cdots9}_{94}04. $$ Því er þversumma tölunnar $10^{96}-96$ jöfn $94\cdot 9+0+4=850$.

Dæmi 9. Neðra stig 1996-97

Ef $f(x)=a x^4-b x^2+x+5$ og $f(-3)=2$, þá er $f(3)$ jafnt

Lausn

Höfum að $$ f(3)-f(-3)=(a\cdot 3^4-b\cdot 3^2+3+5)-(a\cdot 3^4-b\cdot 3^2-3+5)=6. $$ Því er $f(3)=f(-3)+6=8$.

Dæmi 10. Neðra stig 1996-97

Lengd kassa vex um $2\%$ og breidd hans um $3\%$, en hæð hans minnkar um $5\%$. Hvernig breytist rúmmál kassans?

Lausn

Segjum að upphaflega hafi lengd kassans verið $l$, breidd hans $b$ og hæð hans $h$. Upphaflega rúmmálið var þá $l\cdot b\cdot h$. Eftir breytinguna er lengdin $\text{1,02}\cdot l$, breiddin $\text{1,03}\cdot b$ og hæðin $\text{0,95}\cdot h$. Rúmmálið eftir breytingu er þá $$ \begin{aligned} (\text{1,02}\cdot l)\cdot (\text{1,03}\cdot b)\cdot (\text{0,95}\cdot h)&=\text{1,02}\cdot \text{1,03}\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &=(1+\text{0,02})\cdot(1+\text{0,03})\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &\lt (1+\text{0,05})\cdot(1-\text{0,05})\cdot lbh\\ &=(1-\text{0,0025})\cdot lbh\\ &\lt lbh \end{aligned} $$ svo það minnkar.

Dæmi 11. Neðra stig 1996-97

Heimski Hans, Mummi meinhorn, Sólveig og Venni vinur liggja öll undir grun um að hafa brotið rúðu í húsi Lalla löggu. Við yfirheyrslu þá kemur eftirfarandi fram:

Hans: „Mummi braut hana.“
Mummi: „Sólveig gerði það.“
Sólveig: „Mummi lýgur.“
Venni: „Ég gerði það ekki.“

Ef aðeins eitt þeirra segir satt og hin þrjú ljúga þá getum við ályktað:

Lausn

Ef Mummi segir satt, þá braut Sólveig rúðuna svo að Venni segir líka satt. Það er í mótsögn við forsendur því aðeins eitt þeirra segir satt. Þar með lýgur Mummi. Sólveig segir þá satt þar sem hún segir Mumma ljúga og því hlýtur Venni að ljúga því aðeins eitt þeirra segir satt. En Venni segir að hann hafi ekki brotið rúðuna, sem er lygi, svo það var Venni sem braut rúðuna.