Svar: Rúmmál: $\frac{\sqrt2}{6}\pi a^3$. Yfirborðsflatarmál: $\sqrt2\pi a^2$.

Lengd hornalínunnar í ferningnum er $a\sqrt{2}$ samkvæmt reglu Pýþagorasar. Þegar við snúum ferningi svona um aðra hornalínuna, þá fáum við sama svæði og þegar við límum saman grunnfleti tveggja keila af hæð $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ og með grunnflöt með þvermál $\sqrt{2}\, a$. En rúmmál slíkrar keilu er þriðjungur af margfeldi flatarmáls grunnflatar hennar og hæðar eða $$\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{12}\pi a^3.$$ Rúmmál hlutarins er því $$ \frac{\sqrt{2}}{6}\pi a^3.$$

Snúum okkur þá að því að reikna yfirborðsflatarmál keilanna. Klippum þær eftir endilöngu og fletjum þær út. Fáum þá hringgeira með geisla $a$ sem hefur boga af lengd sem er jöfn ummáli grunnflatar keilunnar eða $\sqrt{2} a\pi$. Horn hringgeirans í bogamálseiningum er þá $\sqrt{2} \pi$ svo að flatarmál hans er $\frac{\sqrt {2}\pi}{2\pi}\pi a^2$ þar sem $\pi a^2$ er flatarmál hrings með geisla $a$. Yfirborðsflatarmál hlutarins er þá $\sqrt{2} \pi a^2$.

Ef við höfum $31$ slétta tölu í röð, þá getum við skrifað þær sem $$2(n+1), 2(n+2),\ldots, 2(n+31).$$ Tala númer 13 er þá $2(n+13)$ og númer 15 er $2(n+15)$. Ef síðasta talan, $2(n+31)$, er jöfn summu $13$. og $15$. tölunnar, þá er $2(n+31)=2(n+13)+2(n+15)$ svo að $31=n+28$ og þá $n=3$. Þá er talan í miðjunni, tala númer 16, jöfn $2( 3+16)=2\cdot 19=38$.

Setjum $a=|B C|$, $b=|A C|$ og $c=| A B |$. Þá er $| D E |=\frac{1}{4}c$. Látum $F$ og $G$ vera hornpunkta rétthyrningsins sem liggja á hliðunum $B C$ og $AC$. Þríhyrningarnir $F G C$ og $A B C$ eru einslaga svo að $$ \frac{|C F|}{\frac{1}{4}c}=\frac{|C F|}{|F G|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{a}{c}$$ og því $|C F|=\frac{1}{4}a$. Þríhyrningarnir $F B E$ og $A B C$ eru einnig einslaga svo að $$ \frac{|E F|}{\frac{3}{4}a}=\frac{|E F|}{|B F|}=\frac{|A C|}{|A B|}=\frac{b}{c}$$ og því $|E F|=\frac{3 a b}{4 c}$. Hlutfallið milli flatarmála rétthyrningsins $D E F G$ og þríhyrningsins $A B C$ er þá $$\frac{|D E F G|}{|A B C|}=\frac{|E F|\cdot |D E|}{\frac{1}{2}|A C|\cdot | B C |} =\frac{\frac{3 a b}{4 c}\cdot \frac{1}{4}c}{\frac{1}{2}a b}=\frac{3}{8}.$$

Miðpunktar hringanna mynda jafnhliða þríhyrning með hliðarlengd 2. Geisli stóra hringsins er þá 1 að viðbættri lengdinni frá einum hornpunkti þríhyrningsins að miðpunkti hans. Látum $O$ vera miðpunkt þríhyrningsins og $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta hans. Látum $D$ vera miðpunkt hliðarinnar $BC$. Nú er $D$ jafnframt fótpunktur hæðarinnar á $BC$ svo regla Pýþagroasar gefur að $|AD|=\sqrt{|AB|^2-|BD|^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$. Þar sem miðlínur þríhyrnings skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$, þá er $|OA|=\frac23\sqrt{3}$ svo að geisli stóra hringsins er $1+\frac{2\sqrt3}{3}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$. Flatarmál stóra hringsins er þá $$ \pi \left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3} \right)^2 =\left(\frac{21+12\sqrt{3}}{9} \right)\pi =\left(\frac{7+4\sqrt{3}}{3} \right)\pi.$$