Skip to Content

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1996-97

Þrjú strandríki vilja skipta með sér þríhyrningslaga hafsvæði $A B C$. Ríkin þrjú eiga hvert sitt skerið í hornpunktum þríhyrningsins. Eftir langar og erfiðar samningaviðræður verður eftirfarandi regla til: Þegar ákvarða á hvaða ríki fær yfirráðarétt yfir punkti $P$ innan í $A B C$, þá er mæld fjarlægðin frá $P$ yfir í skerin þrjú (hornpunktana) og punkturinn tilheyrir svo því ríki sem á skerið sem er næst honum. Finnið skilyrði á lögun þríhyrningsins $A B C$ (skilyrði á hornin eða hlutföll hliða) sem þarf að vera uppfyllt til þess að einhver tvö ríkjanna eigi ekki samliggjandi hafsvæði.

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1996-97

Í þríhyrningi $A B C$ gildir að $b\geq a$. Táknum með $M$ miðpunkt hliðarinnar $c$ og með $H$ fótpunkt hæðarinnar frá $C$. Sýnið að $$|M H|=\frac{b^2-a^2}{2 c}.$$

Dæmi 20. Neðra stig 1996-97

Á myndinni má sjá hring með miðju í $A$ og geisla $9$, og annan minni hring með miðju í $D$ og geisla $4$. Sameiginlegir snertlar $B C$ og $E F$ eru dregnir. Ákvarðið lengd $E F$






Dæmi 17. Neðra stig 1996-97

Klukkan $10$ fyrir hádegi hleypur hlaupari af stað í norðurátt frá punkti $A$. Hraði hans er $10$ km á klukkustund. Hálftíma síðar hjólar hjólreiðamaður af stað frá punkti $B$ sem er $25$ km austan við $A$. Hjólreiðamaðurinn hjólar í norðvestur átt. Nú vill svo til að hlauparinn og hjólreiðamaðurinn hittast. Hver var hraði hjólreiðamannsins?

Dæmi 7. Neðra stig 1996-97

Í þríhyrningnum $A B C$ er hornið $\angle C$ rétt, $|A C|=6$ og $|B C|=8$. Punktur $D$ liggur á hliðinni $A B$ og punktur $E$ á hliðinni $B C$, þannig að $\angle B E D=90^\circ$. Ef $|D E|=4$, þá er lengd striksins $B D$ jöfn

Dæmi 13. Neðra stig 1996-97

Innan í hring með geisla $2$ liggja tveir hringir með geisla $1$ þannig að þeir snertast í miðpunkti stóra hringsins. Til viðbótar er svo dreginn fjórði hringurinn eins og sýnt er á myndinni. Hver er geisli minnsta hringsins?





Dæmi 1. Úrslitakeppni 1995-96

Hvert er flatarmál svæðisins, sem markast af ójöfnunni $$|x|+|y|+|x+y|\leq 2?$$

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1995-96

Í ferningslaga bókaskáp eru tvær jafn þykkar og jafn háar bækur skorðaðar eins og myndin sýnir. Ef hæð skápsins er $1$ lengdareining, hver er þá þykkt bókanna?





Dæmi 13. Neðra stig 1995-96

Í þríhyrningnum $A B C$ liggur punkturinn $D$ á hliðinni $c$, þannig að $\angle B C D=\angle A$. Gefið er $a=5$ og $|B D|=3$. Þá er lengd $c$ jöfn

Dæmi 21. Neðra stig 1995-96

Þrír hringir með geislann $1$ og einn stór hringur eru lagðir eins og myndin sýnir. Ákvarðið flatarmál stóra hringsins. (Svarið á að vera á forminu $(\frac{a+b\sqrt{3}}{c})\pi$ þar sem $a, b$ og $c$ eru heilar tölur).

Syndicate content