1995-96 | stæ.is

Dæmi 11. Efra stig 1995-96

Tölurnar $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$, eru skrifaðar í röð í bók þannig að á hverri síðu er 100 tölur. Byrjað er að skrifa efst á síðu $7$. Á hvaða síðu lendir talan $11.111$?

Lausn

Látum $a_n$ vera $n$—tu töluna sem við skrifum. Þá er $a_n=3(n-1)+2$. Nú er $11.111=111\cdot 100+11$ svo talan 11.111 er 11 talan sem við skrifum á 112. síðuna sem við skrifum á. En nú byrjuðum við ekki að skrifa fyrr en á blaðsíðu 7 í bókinni svo 112. síðan sem við skrifum á er síða númer $112+6=118$ í bókinni.

E2 |
1995-96

Dæmi 12. Efra stig 1995-96

Finnið allar rauntölulausnir jöfnunnar $$x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8=0.$$

Lausn

Byrjum á að umrita stæðuna á vinstri hlið jöfnunnar $$ \begin{aligned} x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8 &=(x^2-5x+4)+\left(\frac{1}{x^2}-5\frac{1}{x}+4\right)\\ &=(x-4)(x-1)+\left(\frac{1}{x}-4\right)\left(\frac{1}{x}-1\right)\\ &=(x-4)(x-1)+\frac{1-4x}{x}\cdot\frac{1-x}{x}\\ &=\left((x-4)-\frac{1-4x}{x^2}\right)(x-1)\\ &=\frac{1}{x^2}(x^3-4x^2+4x-1)(x-1)\\ &=\frac{1}{x^2}(x^2-3x+1)(x-1)^2 \end{aligned} $$ Sjáum þá að lausnir jöfnunnar eru $x=1$ og rætur margliðunnar $x^2-3x+1$, en þær eru $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$.

E2 |
1995-96

Dæmi 15. Efra stig 1995-96

Hvert er yfirborðsflatarmál og rúmmál hlutar sem fæst með því að snúa ferningi með hliðarlengd $a$ um hornalínu?

Lausn

Svar: Rúmmál: $\frac{\sqrt2}{6}\pi a^3$. Yfirborðsflatarmál: $\sqrt2\pi a^2$.

Lengd hornalínunnar í ferningnum er $a\sqrt{2}$ samkvæmt reglu Pýþagorasar. Þegar við snúum ferningi svona um aðra hornalínuna, þá fáum við sama svæði og þegar við límum saman grunnfleti tveggja keila af hæð $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ og með grunnflöt með þvermál $\sqrt{2}\, a$. En rúmmál slíkrar keilu er þriðjungur af margfeldi flatarmáls grunnflatar hennar og hæðar eða $$\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{12}\pi a^3.$$ Rúmmál hlutarins er því $$ \frac{\sqrt{2}}{6}\pi a^3.$$

Snúum okkur þá að því að reikna yfirborðsflatarmál keilanna. Klippum þær eftir endilöngu og fletjum þær út. Fáum þá hringgeira með geisla $a$ sem hefur boga af lengd sem er jöfn ummáli grunnflatar keilunnar eða $\sqrt{2} a\pi$. Horn hringgeirans í bogamálseiningum er þá $\sqrt{2} \pi$ svo að flatarmál hans er $\frac{\sqrt {2}\pi}{2\pi}\pi a^2$ þar sem $\pi a^2$ er flatarmál hrings með geisla $a$. Yfirborðsflatarmál hlutarins er þá $\sqrt{2} \pi a^2$.

Dæmi 11. Neðra stig 1995-96

Jörmunrekur og Gutti eru í leik þannig að fyrir framan þá er hrúga með $41$ eldspýtu, og fer leikurinn þannig fram að þeir skiptast á að taka eldspýtur úr hrúgunni. Í hvert skipti má taka $1$, $2$, $3$, $4$ eða $5$ eldspýtur. Sá tapar sem tekur síðustu eldspýtuna. Gutti hóf leikinn og tryggði sér strax sigur. Hvað tók Gutti margar eldspýtur í fyrsta sinn?

Lausn

Eftir að Gutti gerir í fyrsta skipti, þá getur hann alltaf hagað því þannig að $6$ eldspýtur fari í hverri umferð eftir það. Ef Jörmunrekur tekur $x$ eldspýtur, þar sem $x$ er ein talnanna $1$, $2$, $3$, $4$ eða $5$, þá tekur Gutti $6-x$ eldspýtur. Nú er $41=6\cdot 6+5$ svo þegar Jörmunrekur hefur gert $6$ sinnum og Gutti $7$ sinnum, þá eru eftir $5$ eldspýtur að frádregnum þeim eldspýtum sem Gutti tók í fyrsta leik. Ef hann hefur tekið $4$ eldspýtur í byrjun, þá er aðeins ein eldspýta eftir þegar hér er komið sögu og þá tapar Jörmunrekur.

Dæmi 12. Neðra stig 1995-96

Faraóinn Jörmunrekur II var búinn að láta höggva $1000$ teningslaga steinblokkir, allar jafnstórar. Úr þessum blokkum átti að reisa píramíta með ferningslaga grunni. Fyrsti píramítinn sem var reistur var tveggja hæða, svo var reistur þriggja hæða og svo koll af kolli (sjá mynd). Þegar framkvæmdir höfðu staðið yfir um skeið uppgötvaði Jörmunrekur að hann ætti ekki eftir nógu margar blokkir til að klára næsta píramíta.

Lausn

Það þarf $1+2^2=5$ blokkir í fyrsta píramítann, $1+2^2+3^2=5+9=14$ blokkir í þann næsta, $1+2^2+3^2+4^2=14+16=30$ í þann þriðja og svo framvegis. Ef $a_n$ táknar fjölda blokka sem þarf í $n$—hæða píramíta, þá sjáum við að $a_n=a_{n-1}+n^2$ því við getum alltaf fengið hvern píramíta með því að skella $n^2$ blokkum undir þann næsta á undan. Reiknum nú nokkur fyrstu gildin á $a_n$. Höfum þegar séð að $a_2=5$, $a_3=14$ og $a_4=30$. Ef við höldum áfram fáum við $a_5=30+25=55$, $a_6=55+36=91$, $a_7=91+49=140$, $a_8=140+8^2=204$, $a_9=204+81=285$, $a_{10}=285+10^2=385$. Nú er $a_2+a_3+\cdot+a_9=824$ og $a_{10}=385\gt 176=1000-824$ svo Jörmunrekur á $176$ blokkir eftir þegar hann hefur lokið við 9 hæða píramítann en þarf $385$ til að klára þann $10$ hæða.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 13. Neðra stig 1995-96

Í þríhyrningnum $A B C$ liggur punkturinn $D$ á hliðinni $c$, þannig að $\angle B C D=\angle A$. Gefið er $a=5$ og $|B D|=3$. Þá er lengd $c$ jöfn

Lausn

Nú er $\angle C D B=\angle C A B+\angle A C D=\angle B C D+\angle A C D=\angle ACB$ og augljóslega er $\angle CBD=\angle ABC$ svo þríhyrningarnir $A C B$ og $CDB$ eru einslaga. Þá er $$\frac{3}{5}=\frac{|B D|}{|B C|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{5}{|A B|}$$ svo að $|A B|=\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}$.

Dæmi 14. Neðra stig 1995-96

Stærðtáknið $$\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}},$$ er jafnt

Lausn

Lengjum fyrra brotið með $\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$ og það seinna með $\sqrt{a+1}-\sqrt{a}$ og fáum $$ \frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}} =\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}{(a+1)-a}-\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{(a+1)-a} =2\sqrt{a}.$$

Dæmi 15. Neðra stig 1995-96

Á myndinni má sjá sex mismunandi aðferðir til að pakka saman sex gosdrykkjadósum. Utan um dósirnar er bundinn þráður sem teygist ekki. Í sumum tilvikum hefur þráðurinn utan um dósirnar sömu lengd. Í hve mörgum tilvikum fáum við minnstu mögulegu lengd?

Lausn

Byrjum á að athuga að á hverri mynd er sá hluti bandsins sem liggur upp að dósunum samtals ummál einnar dósar. Okkur nægir því að athuga lengd beinu kaflanna sem liggja ekki upp að dósunum. Slíkur kafli milli tveggja dósa sem snertast er alltaf $2 r$ að lengd þar sem $r$ er geisli dósanna. Þar sem dósirnar eru allar í röð eru $10$ slíkir kaflar en $6$ á öllum hinum myndunum nema þeirri þar sem fimm dósum er raðað í kringum eina. Þar eru $4$ slíkir kaflar og einn að auki. Ef við sýnum að lengd fimmta kaflans er minni en $4 r$, þá er ljóst að minnsta lengdin á snærinu fæst með slíkri pökkun. En nú er lengd þess kafla jöfn tvöfaldri hæðinni í jafnhliða þríhyrningi með hliðarlengdir $2 r$ sem er augljóslega minna en tvöföld hliðarlengd þríhyrninganna eða $4 r$. Við fáum því minnstu mögulegu lengd í aðeins einu tilfelli.

Dæmi 16. Neðra stig 1995-96

Ef við skrifum heilu tölurnar frá $1$ upp að $999$ (báðar meðtaldar) niður á blað, hvað höfum við þá skrifað tölustafinn $0$ oft?

Lausn

Byrjum á að skrifa tölurnar frá $0$ og upp í $999$ niður á blað. Ef talan hefur færri en $3$ tölustafi, þá skrifum við $0$ fyrir framan hana. Þannig skrifum við $007$ fyrir $7$ og $075$ í stað 75. Við höfum þá skrifað $1000$ tölur, þrjá tölustafi í hverri tölu og augljóslega höfum við skrifað hvern tölustafanna $10$ jafn oft. Við höfum því skrifað $3\cdot 1000/10=300$ núll. Núna strokum við út öll núll í upphafi talna þannig að í stað $027$ standi 27 o.s.frv. Þá standa eftir tölurnar frá $1$ og upp í $999$. Við höfum þá strokað $0$ úr hundruðasæti í tölunum $000$ til $099$, samtals $100$ stykki. Einnig strokuðum við út $10$ núll í tugasætunum í tölunum $00$ til $09$, samtals $10$ stykki. Að lokum strokuðum við einnig út töluna $0$. Þá höfum við strokað út $111$ núll og eftir eru $300-111=189$ núll.

Dæmi 17. Neðra stig 1995-96

Skrifum samlægar sléttar tölur, $31$ talsins, í röð þannig að síðasta talan sé jöfn summu $13$. og $15$. talnanna. Hver er miðtalan í röðinni?

Lausn

Ef við höfum $31$ slétta tölu í röð, þá getum við skrifað þær sem $$2(n+1), 2(n+2),\ldots, 2(n+31).$$ Tala númer 13 er þá $2(n+13)$ og númer 15 er $2(n+15)$. Ef síðasta talan, $2(n+31)$, er jöfn summu $13$. og $15$. tölunnar, þá er $2(n+31)=2(n+13)+2(n+15)$ svo að $31=n+28$ og þá $n=3$. Þá er talan í miðjunni, tala númer 16, jöfn $2( 3+16)=2\cdot 19=38$.