Sjáum að í mengi $A_n$ eru $n$ tölur og minnsta talan er næsta tala á eftir $1+2+\cdots+(n-1)$. Nú er $1+2+\cdots+20=21\cdot 10=210$ svo $A_{21}=\{211,212,\ldots,231\}$. Summa talnanna í $A_{21}$ er þá $$211+212+\cdots+231=\frac{1}{2}\cdot (211+231)\cdot 21=221\cdot 21=4641.$$

Við höfum $9$ stykki og ætlum að skipta þeim í $n\gt 9$ hluta. Þá verðum við augljóslega að skera öll stykkin í sundur, því sá sem fengi heilt stykki fengi þá meira en $9/n$ af öllum súkkulaðistykkjunum. En við megum ekki skera neitt stykki oftar en einu sinni svo hverju þeirra er skipt í nákvæmlega tvo hluta.

Gerum nú ráð fyrir að við höfum skipt stykkjunum og höfum því $18$ hluta af stykkjum fyrir framan okkur sem við hugsum okkur að við höfum merkt $1_a, 1_b, 2_a, 2_b,\ldots,9_a, 9_b$ þannig að $1_a$ og $1_b$ fengust þegar stykki 1 var skipt í tvennt o.s.frv. Nú er einn hlutinn $9/n$ af lengd eins stykkis og við getum gert ráð fyrir því að það sé $1_a$. Ef lengd $1_b$ er einnig $9/n$, þá höfum við skipt hverju stykki í tvennt og því $n=18$. Annars er til hluti af stykki, segjum $2_a$, þannig að samanlögð lengd $1_b$ og $2_a$ sé $9/n$. Við höldum nú svona áfram þar til við komum að fyrstu tölunni $k$ þannig að lengd $k_b$ sé $9/n$, en þá hefur þessum $k$ stykkjum verið skipt milli $k+1$ barns. Þar sem skiptingin á næstu $k$ stykkjum hlýtur að vera samsvarandi sjáum við að $k$ gengur upp í $9$ og er því annaðhvort 3 eða 9 (við höfum þegar afgreitt tilfellið $k=1$). Þá hefur þessum fyrstu 3 (eða 9) stykkjum verið skipt milli 4 (eða 10) barna og því $n=3\cdot 4=12$ eða $n=10$.

Við höfum nú séð að nauðsynlega verður $n$ að vera ein af tölunum $10$, $12$ eða $18$. En ljóst er að hægt er að skipta stykkjunum $9$ milli $10$, $12$ eða $18$ barna án þess að skera nokkurt þeirra tvisvar. Ef $n=18$, þá skiptum við hverju stykki í tvennt. Ef $n=12$ þá skiptum við hverjum $3$ stykkjum í fjóra hluta með því að raða þeim í röð og skera lengjuna í fjóra jafn langa búta. Þá þarf að skera þrisvar svo hvert stykki er skorið nákvæmlega einu sinni. Eins ef $n=10$, þá röðum við öllum stykkjunum $9$ í röð og skiptum lengjunni í $10$ jafn langa búta, en þá þarf að skera $9$ sinnum og hvert stykki því nákvæmlega einu sinni.

Látum $x$ tákna hálfa lengd þeirra strengja sem liggja ekki í gegnum miðpunkt hringsins. Þríhyrningurinn á myndinni er rétthyrndur og regla Pýþagorasar gefur að $1^2+x^2=2^2$ svo að $x=\sqrt{3}$. Þá er lengd hvers af strengjunum sem eru ekki miðstrengir $2\sqrt{3}$ og lengd þeirra samtals $4\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$. Lengd miðstrengjanna er $2\cdot 4=8$ og því heildarlengd strengjanna sex $8+8\sqrt{3}=8(1+\sqrt{3})$.

Lítum fyrst á þríhyrninginn sem hefur flatarmál $18$. Hæðin á hliðina sem hefur lengd $5$ í þeim þríhyrningi er $\frac{2\cdot 18}{5}=\frac{36}{5}$. Hæðin á hliðina sem hefur lengd $5$ í þríhyrningnum sem er merktur $A$ er þá $10-\frac{36}{5}=\frac{50-36}{5}=\frac{14}{5}$ svo að flatarmál svæðisins $A$ er $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{14}{5}=7$.