1993-94 | stæ.is

Dæmi 7. Efra stig 1993-94

Myndin sýnir jafnhliða þríhyrning, sem er innritaður í ferning. Hvert er hlutfall flatarmáls jafnhliða þríhyrningsins og skyggða þríhyrningsins.

Lausn

Byrjum á að athuga að óskyggðu rétthyrndu þríhyrningarnir tveir á myndinni eru eins því þær hliðar sem eru sameiginlegar jafnhliða þríhyrningnum eru jafn langar og þær hliðar sem eru sameiginlegar ferningnum eru jafn langar. Því eru þriðju hliðar þeirra einnig jafn langar og því skyggða svæðið rétthyrndur jafnarma þríhyrningur. Látum $x$ vera lengd skammhliða hans og $y$ vera langhliðina, sem er jafnframt hliðarlengd jafnhliða þríhyrningsins. Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á skyggða þríhyrninginn fáum við að $y^2=x^2+x^2=2x^2$. Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á rétthyrnda þríhyrninginn sem við fáum þegar við drögum hæðina í jafnhliða þríhyrningnum fáum við að hæðin er jöfn $$\sqrt{y^2-\frac{1}{4}y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}y.$$ Hlutfallið milli flatarmála jafnhliða þríhyrningsins og skyggða þríhyrningsins er þá $$ \frac{\frac{1}{2}y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}y}{\frac{1}{2}x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{y^2}{x^2}=\sqrt{3}.$$

Dæmi 9. Efra stig 1993-94

Hvaða tölustafur er lengst til hægri í tölunni $2^{1994}-1993$?

Lausn

Tökum eftir að síðasti tölustafur $2^k$ er sá sami og síðasti tölustafur $2^j$ þar sem $j$ er afgangurinn þegar 4 er deilt í $k$. Nú fást $2$ í afgang þegar við deilum $4$ í $1994$ og því endar $2^{1994}$ á sama tölustaf og $2^2=4$. Þá endar $2^{1994}-1993$ á $4-3=1$.

Dæmi 10. Efra stig 1993-94

Sé fótstigi reiðhjóls snúið um einn hring þá færist reiðhjólið áfram um $6$ metra. Á fremra tannhjóli eru $40$ tennur og á því aftara $15$ tennur. Ef skipt er um tannhjól þannig að það fremra hafi $60$ tennur og það aftara $20$, hversu langt fer þá reiðhjólið ef fótstiginu er snúið einn hring?

Lausn

Þegar fótstiginu er snúið einn hring, þá snýst fremra tannhjólið um $40$ tennur. Aftara tannhjólið snýst þá einnig um $40$ tennur sem eru $\frac{40}{15}=2\frac{10}{15}=2\frac{2}{3}$ hringir. Hjólið fer þá áfram um $\frac{6}{2\frac{2}{3}}=\frac{3\cdot 6}{8}=\frac{9}{4}$ metra þegar aftara tannhjólið snýst einn hring. Þegar skipt hefur verið um tannhjól, þá snýst það fremra 60 tennur þegar fótstiginu er snúið einn hring og því einnig það aftara. En 60 tennur jafngilda $\frac{60}{20}=3$ snúningum og hjólið fer þá áfram um $3\cdot \frac{9}{4}=\frac{27}{4}=6\frac{3}{4}=\text{6,75}$ metra.

Dæmi 11. Efra stig 1993-94

Á myndinni eru $A$, $B$ og $C$ snerti-punktar. Punkturinn $C$ er á helmingalínu hornsins $\angle A D B$ og línurnar gegnum $C$ og $D$ eru samsíða. Hver er lengdin $x$?

Lausn

Látum $O$ vera miðpunkt hringsins. Þegar við framlengjum strikin $D A$ og $D B$ skera þau línuna gegnum $C$ í $P$ og $Q$. Nú er $O$ á helmingalínu hornsins $\angle A D B$ því $O$ er í sömu fjarlægð frá örmum þess. Punktarnir $D$, $O$ og $C$ eru því allir á sömu línunni. Þar sem $C$ er snertipunktur línunnar gegnum $P$ og $Q$ við hringinn, þá er $O C$ hornrétt á $P Q$ og því $C D$ hæðin á $P Q$ sem hefur lengdina $x+4$. Höfum nú að þríhyrningarnir $D C P$ og $D C Q$ eru einslaga og því þríhyrningurinn $P Q D$ jafnhliða. Þríhyrningarnir $O P Q$, $O D P$ og $O D Q$ hafa allir flatarmálið $$ \frac{1}{2}\cdot |P Q|\cdot |O C|=\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot \frac{3}{2}=\frac{3y}{2} $$ þar sem $y$ er hálf hliðarlengd þríhyrningsins $D P Q$. Flatarmál $D P Q$ sem er $\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot (x+4)=(x+4)y$ er jafnt samanlögðu flatarmáli $O P Q$, $O D P$ og $O D Q$ svo að $ 3\frac{3y}{2}=(x+4)y$ og því $x=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$.

Dæmi 14. Efra stig 1993-94

Þrjú pör halda veislu. Þegar hver veislugestur kemur inn í veislusalinn heilsar hann (eða hún) öllum þeim, sem þegar eru komnir, nema maka sínum. Þegar allir eru komnir spyr einn úr hópnum alla hina hversu mörgum þau heilsuðu við komuna og fær $5$ mismunandi svör. Hve mörgum heilsaði fyrirspyrjandi þegar hann kom inn?

Lausn

Látum $a$ vera þann sem kom fyrst í veisluna og $a\prime$ vera maka hans. Látum $b$ vera þann sem kom annar ef það var ekki $a\prime$. Annars látum við $b$ vera þriðja veislugestinn sem mætti og $b\prime$ vera maka hans. Látum $c$ vera þann sem kom fyrr af síðasta parinu og $c\prime$ vera maka hans. Þegar $a$ kom, þá heilsaði hann engum en $c\prime$ heilsaði öllum eða $4$. Sá sem spyr fær $5$ ólík svör og því var einhver sem heilsaði $1, 2$ og $3$.

Ef $a\prime$ kemur strax á eftir $a$, þá heilsar hvorugt þeirra neinum, en allir sem á eftir koma heilsa bæði $a$ og $a\prime$ og því að minnsta kosti tveimur. Þá er enginn sem heilsar aðeins einum svo þetta gengur ekki. Því er $b$ sá sem kemur á eftir $a$.

Ef $a\prime$ og $b\prime$ eru þeir sem koma næst, þá heilsar annar þeirra einum og hinn tveimur. Þá koma $c$ og $c\prime$ seinast og heilsa bæði fjórum. Þá er enginn sem heilsar þremur svo þetta stenst ekki. Þess vegna er $c$ þriðji eða fjórði í röðinni.

Ef $c$ er sá fjórði sem mætir, þá er $a\prime$ eða $b\prime$ sá þriðji. Sá þriðji heilsar þá $1$ og $c$ og allir sem á eftir honum koma heilsa $3$. Þá er enginn sem heilsar $2$ sem stenst ekki. Því er $c$ sá þriðji sem mætir.

Sá fjórði heilsar þá öllum nema maka sínum og heilsar því $2$. Sá fimmti heilsar öllum nema sínum maka og heilsar þá $3$ og sá síðasti heilsar öllum nema sínum maka og heilsar þá $4$. Sjáum þá að fyrirspyrjandi heilsaði $2$.

Dæmi 3. Efra stig 1993-94

Ritum $a * b$ í stað $a^{b}$. Þá er $\frac{2 * (2 * (2 * 2))}{((2 * 2) * 2) * 2}$ jafnt

Lausn

Þar sem $a * b=a^b$, þá er $$ \frac{2 * (2 * (2 * 2))}{((2 * 2) * 2) * 2}=\frac{2 * (2 * 4)}{(4 * 2) * 2} =\frac{2 * 16}{16 * 2}=\frac{2^{16}}{16^2}=\frac{2^{16}}{2^8}=2^8=256.$$

Dæmi 10. Neðra stig 1993-94

Meðalaldur $20$ manna hóps er $16$ ár og $3$ mánuðir. Nú bætist ein $18$ ára stúlka í hópinn. Hver verður meðalaldurinn þá?

Lausn

Ef meðalaldur $20$ mann hóps er $16$ ár og $3$ mánuðir, þá er samanlagður aldur hópsins $20\cdot 16\frac{3}{12}=320\frac{60}{12}=325$ ár. Þegar $18$ ára stúlka bætist við verður samanlagður aldurinn $325+18=343$ ár og því meðalaldurinn $$\frac{343}{21}=16\frac{7}{21}=16\frac{1}{3}=16\frac{4}{12},$$ það er að segja, $16$ ár og $4$ mánuðir.

Dæmi 11. Neðra stig 1993-94

Verktaki segist ljúka ákveðnu verki á þremur dögum með tilteknum fjölda véla. Ef þremur vélum er bætt við lýkur verkinu á tveimur dögum. Hve marga daga þarf hann til þess að ljúka verkinu ef ein vél er notuð?

Lausn

Látum $x$ tákna fjölda véla sem verktakinn þarf til að ljúka verkinu á þremur dögum. Verkið er þá alls $3x$ vélardagsverk. En þegar hann bætir við 3 vélum, þá tekur verkið aðeins tvo daga, svo það er einnig $2(x+3)$ vélardagsverk og því $3x=2(x+3)$. Þá er $x=6$ og því verkið alls $3x=3\cdot 6=18$ vélardagsverk. Það tekur því eina vél $18$ daga að ljúka verkinu.

Dæmi 12. Neðra stig 1993-94

Hver er stuðullinn við $x^{50}$ þegar margfaldað er upp úr $$ (1+x+x^{2}+\cdots+x^{100})(1+x+x^{2}+\cdots+x^{25})? $$

Lausn

Fyrir hvern lið í seinni sviganum fáum við $x^{50}$ nákvæmlega einu sinni þegar við margföldum hann inn í fyrri svigann. Það eru $26$ liðir í seinni sviganum svo stuðullinn við $x^{50}$ er $26$.

Dæmi 13. Neðra stig 1993-94

Á hraðskákmóti eru $13$ keppendur og teflir hver þeirra fjórum sinnum við sérhvern hinna. Þá er fjöldi skáka sem er tefldur jafn

Lausn

Lausn 1: Ef allir keppendur skrá allar sínar skákir, þá skráir hver þeirra $4\cdot 12$ skákir. Alls er þá skráðar $4\cdot12\cdot 13$ skákir á mótinu. En þar sem tveir tefla hverja skák, þá er hver skák skráð tvisvar og fjöldi þeirra því $\frac12\cdot4\cdot 12\cdot 13=312$.

Lausn 2: Röðum keppendunum upp í einfalda röð. Sá fyrsti í röðinni teflir fjórum sinnum við hvern hinna keppendanna svo þar eru $4\cdot 12$ skákir. Þær skákir sem eru enn ótaldar og annar keppandinn í röðinni teflir eru þær sem hann teflir við þá sem eru fyrir aftan hann í röðinni. Þær eru $4\cdot 11$ talsins. Þannig göngum við eftir röðinni, ótaldar skákir sem sá þriðji teflir eru $4\cdot 10$ og svo framvegis. Ótöldu skákirnar sem sá næst síðasti teflir eru þá $4$ og allar skákirnar hafa verið taldar þegar við komum að þeim seinasta. Alls eru þá tefldar $$ 4\cdot (12+11+10+\cdots+1)=4\cdot \frac{(12+1)12}{2}=24\cdot 13=312$$ skákir á mótinu.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 7. Efra stig 1993-94

Dæmi 9. Efra stig 1993-94

Dæmi 10. Efra stig 1993-94

Dæmi 11. Efra stig 1993-94

Dæmi 14. Efra stig 1993-94

Dæmi 3. Efra stig 1993-94

Dæmi 10. Neðra stig 1993-94

Dæmi 11. Neðra stig 1993-94

Dæmi 12. Neðra stig 1993-94

Dæmi 13. Neðra stig 1993-94

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK