Miðstreng $AC$ í hring er skipt í fjögur jafnlöng strik með $P$, $M$ og $Q$. Dregin er lína um $P$ sem sker hringinn í $B$ og $D$ þannig að $2|PD|=3|AP|$. Hvert er flatarmál ferhyrningsins $A B C D$ ef flatarmál þríhyrningsins $A B P$ er $1$?
Fimmburarnir Ari, Bryndís, Davíð, Elín og Guðjón fæddust á klukkutíma fresti. Hver þeirra um sig veit hvar í röðinni hann fæddist. Guðjón veit líka að Elín fæddist tveimur tímum á undan Bryndísi. Guðjón segir: „Ef ég gef mér þá forsendu, sem mér finnst mjög trúleg, að Ari sé ekki elstur, þá veit ég í hvaða röð við fæddumst.Þessi ,,trúlega forsenda, sem Guðjón gaf sér, er reyndar alveg hárrétt. Í hvaða röð fæddust fimmburarnir?
Gefið er strik $A B$, hringur með miðju $A$ sem liggur gegnum $B$
og annar hringur með miðju $B$ sem liggur gegnum $A$.
Ferningurinn $C D E F$ hefur tvo hornpunkta sína á strikinu
$AB$ og hina tvo hvorn á sínum hringnum, eins og myndin sýnir.
Reiknið hliðarlengd hans ef lengd $|A B|=1$.
Á hversu marga vegu er unnt að raða tölunum $1,2,\ldots,n$ í sæti þannig að eftirfarandi gildi fyrir sérhvert $i = 2,\ldots,n$: Talan í $i$-ta sæti er annaðhvort minni en allar tölurnar á undan eða stærri en allar tölurnar á undan.
Reynir er að flísaleggja rétthyrningslaga gólfflöt. Til þess notar hann
hvítar og svartar ferningslaga flísar sem hann leggur í munstur eins og á skákborði.
Hann
byrjar á að setja heila flís í eitt hornið og heldur áfram út frá því horni. Þegar
hann hefur lokið við flísalagninguna þá tekur hann eftir því að samanlagt flatarmál
hvítu flísanna á gólfinu er jafnt samanlögðu flatarmáli svörtu flísanna. Sýnið að
önnur hliðarlengd gólfflatarins er heilt margfeldi af hliðarlengd flísanna og að
fjöldi flísa meðfram þessari hlið er jöfn tala.
Látum $\alpha,\beta,\gamma$ tákna stærð hornanna í þríhyrningi og gerum ráð
fyrir að $\beta = \frac{1}{2}(\alpha+\gamma)$. Reiknið
$$
\frac{\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)}{\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)}.
$$