Gerum ráð fyrir að önnur jafnan hafi ekki rauntölulausn. Með því að skipta hugsanlega um nöfn á $p$ og $q$ getum við gert ráð fyrir því að $x^2+p x+q=0$ hafi ekki rauntölulausn. Þá er aðgreinir annars stigs margliðunnar $x^2+p x+q$ neikvæður, það er $p^2-4 q\lt 0$, svo að $p^2\lt 4 q$. Við viljum sýna að þá sé aðgreinir margliðunnar $x^2+q x+p$ ekki neikvæður, það er að $q^2\geq 4 p$, því þá hefur jafnan $x^2+q x+p=0$ rauntölulausn.

Ef $p^2\lt 4q$, þá er $p\lt 2\sqrt{q}$ svo að $4p\lt 8\sqrt{q}$. Nú er ójafnan $8\sqrt{q}\leq q^2$ jafngild ójöfnunni $64q\leq q^4$ því $q$ er jákvæð tala. En $64=4^3$ svo þessi síðasta ójafna er jafngild ójöfnunni $4\leq q$. Höfum því fyrir $4\leq q$ að $4p\lt 8\sqrt{q}\leq q^2$. Tilfellin þegar $q$ er ein af tölunum $1$, $2$ eða $3$ verðum við að afgreiða sérstaklega.

• (a) Ef $q=3$, þá er $p^2\lt4q=12$ svo að $p$ er önnur talnanna 1 eða 2 því $p=3$ kemur ekki til greina því gefið er að $p$ og $q$ eru ólíkar. En $q^2=9$ er stærri en bæði $4\cdot 1=4$ og $4\cdot 2=8$ svo $q^2\geq 4p$ gildir í þessu tilfelli.
• (b) Ef $q=2$, þá er $p^2\lt4q=8$ svo að $p=1$. Þá er $q^2=4\geq 4=4p$.
• (c) Ef $q=1$, þá er $p^2\lt4$ sem getur ekki gerst því tölurnar $p$ og $q$
eru ólíkar.

Ef við stingum $1-x$ inn fyrir $x$ í $p(1-x)+2p(x)=x$ fáum við $p(x)+2p(1-x)=1-x$. Ef við margföldum fyrri jöfnuna með 2 og drögum þá seinni frá þeirri fyrri fáum við að $$ 4p(x)-p(x)=2x-(1-x)=3x-1$$ og því er $p(x)=x-\frac{1}{3}$.