Gefnar eru $n$ tölur, ein er jöfn $1-\frac{1}{n}$ og hinar eru allar jafnar $1$. Hvert er meðaltal talnanna?
Meðaltal talnanna er $$\frac{\big(1-\frac{1}{n}\big)+(n-1)\cdot 1}{n} =\frac{n-\frac{1}{n}}{n}=1-\frac{1}{n^2}.$$
Ef $2^a+2^b=3^c+3^d$, hve margar heilu talnanna $a , b , c , d$ geta þá verið $\lt 0$?
Með því að skipta hugsanlega um nöfn á $a$ og $b$ annarsvegar og $c$ og $d$ hinsvegar, þá getum við gert ráð fyrir að $a\geq b$ og $c\geq d$. Ef við umritum $2^a+2^b=3^c+3^d$ fáum við $$ 3^{-d}\left(1+2^{a-b}\right)=2^{-b}(1+3^{c-d})$$ og við veitum því athygli að $a-b\geq 0$ og $c-d\geq 0$.
Ef $d\lt 0$, þá er $3^{-d}$ heil tala svo við höfum heila tölu á vinstri hlið og því er $3^{-d}$ þáttur í $1+3^{c-d}$. Þá er til heil tala $k$ þannig að $k3^{-d}=1+3^{c-d}$ og þar sem 3 er þáttur í $k3^{-d}$ en ekki í 1, þá er 3 ekki þáttur í $3^{c-d}$ og því $c=d$. En þá er $k3^{-d}=2$ svo 3 er þáttur í 2 sem er mótsögn. Því er $d\geq 0$ og þá einnig $c\geq 0$ því $c\geq d$.
Ef $b\lt 0$ förum við svipað að. Höfum þá að $2^{-b}$ er þáttur í $1+2^{a-b}$ og því $a=b$. Þá er $2^{-b}$ þáttur í 2 og þar sem $b\neq 0$ þá er $b=-1$ svo að $2^a+2^b=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. En þá er $1=3^c+3^d=3^{d}(1+3^{c-d})$ og þar sem við höfum þegar séð að $d\geq 0$ sjáum við að $d=0$, annars væri 3 þáttur í 1. Þá er $1=1+3^{c-d}$ svo $3^{c-d}=0$ sem stenst ekki. Því er $b\geq 0$ og þá einnig $a\geq 0$ því $a\geq b$.
Höfum þá séð að engin talnanna $a$, $b$, $c$ og $d$ getur verið minni en $0$.
Þegar grunnlína þríhyrnings er lengd um $10\%$ og hæð hans á grunnlínu er minnkuð um $10\%$, þá verður flatarmálið
Táknum lengd grunnlínu í upphaflega þríhyrningnum með $g$ og hæðina á hana með $h$. Flatmál upphaflega þríhyrningsins er $F_0=\frac{1}{2}gh$. Grunnlína nýja þríhyrningsins er $1,1\cdot g$ og hæðin á hana er $0,9\cdot h$. Flatarmál nýja þríhyrningsins er þá $\frac{1}{2}(1,1\cdot g)(0,9\cdot h)=\text{0,99}\cdot\frac{1}{2}gh = \text{0,99}\cdot F_0$ eða $1\%$ minna en flatarmál þess upphaflega.
Talan $\left(0,1 + \frac{1}{0,1}\right)^2$ er jöfn
Höfum að $$\left(0,1+\frac{1}{0,1}\right)^2=(0,1+10)^2 =0,01+2+100=102,01.$$
Gildið á $6(12-3^2)-14$ er
Höfum að $$6(12-3^2)-14=6(12-9)-14=6\cdot 3-14=18-14=4.$$
Ummál rétthyrningsins, sem er sýndur hér, er
Gagnstæðar hliðar eru jafn langar í rétthyrningum svo að $3x=15$. Þá er $x=5$ og ummálið því $2(15+(6\cdot 5 + 4))= 2\cdot 49=98$.
Á hversu marga vegu er unnt að skrifa töluna $135$ sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð?
Skrifum tölurnar sem $n,\, n+1,\, \ldots, n+k$. Þá er summa þeirra $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 135=270$. Nú er $2\cdot 3^3\cdot 5$ frumþáttun $270$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$. Við gerum okkur eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi $k+1$ og $2n+k$ og reiknum út möguleg gildi $n$.
Sjáum þá að alls er hægt að skrifa 135 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð á 7 vegu.
Ef talan $\displaystyle\frac{5(10^{12}-1)}{9}$ er skrifuð í tugakerfinu, hversu oft kemur tölustafurinn 5 fyrir?
Höfum að$$ \begin{aligned} \frac{5(10^{12}-1)}{9}&=\frac{5}{9}\cdot 999.999.999.999 =5\cdot 111.111.111.111\\ &=555.555.555.555. \end{aligned}$$
Fjöldi lausna á jöfnunni $3\pi(1-\cos (x))=2x$ er
Fjöldinn er jafn fjölda skurðpunkta grafa fallanna $f(x)=\cos (x)$ og $g(x)=1-\frac{2x}{3\pi}$. Hann er 3.
Minnsta jákvæða náttúrlega tala sem allar náttúrlegar tölur frá $1$ upp í $10$ ganga upp í er
Minnumst þess að frumtala er náttúrleg tala stærri en eða jöfn 2, þannig að engar aðrar tölur en 1 og hún sjálf ganga upp í hana. Fyrstu frumtölurnar eru 2, 3, 5, 7, 11, 13. Frumþættir náttúrlegrar tölu $n$ eru þær frumtölur sem ganga upp í $n$. Minnsta samfeldi gefinna náttúrlegra talna er minnsta talan sem allar gefnu tölurnar ganga upp í. Af þeirri staðreynd að sérhverja náttúrlega tölu má skrifa ótvírætt sem margfeldi frumþátta sinna leiðir, að minnsta samfeldi gefinna talna er margfeldi velda af frumþáttum þeirra, og hver frumþáttur kemur fyrir í hæsta veldi þa hæstu velda þeirra frumþátta gefnu talnanna sem ganga upp í einhverja af gefnu tölunum. Taflan hér að neðan gefur frumþáttun talnanna frá 1 upp í 10 og af henni lesum við að minnsta samfeldi þeirra er $2^3\cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7=2520$.
