Nú er $9\cdot a b c d=10\cdot a b cd -a b c d=a b c d 0-a b c d$ svo jafnan $9\cdot a b c d=d c b a$ er jafngild jöfnunni $a b c d 0=a b c d+d c b a$.

Nú er summa tveggja talna í menginu ${0,1,\ldots,9}$ í mesta lagi 18 svo við þurfum í mesta lagi að geyma einn þegar við leggjum saman í einingasætinu. En þá er summan í tugasætinu mest 19 svo þar þurfum við einnig í mesta lagi að geyma einn og svo koll af kolli. Þar sem $a$ er geymdur þegar lagt er saman í þúsundasætinu sjáum við að $a=1$. Þegar við lítum á einingasætið sjáum við þá að $d=9$ og einn er geymdur svo $1+c+b$ er 9 eða 19 og þá $c+b$ jafnt $8$ eða $18$. En seinna tilfellið kemur ekki til greina því þá er nauðsynlega $b=9$ en þegar við lítum á þúsundasætin sjáum við að $b$ er annaðhvort 0 eða 1 eftir því hvort 1 er geymdur frá hundruðasætunum. Því er $c+b=8$ og þá er enginn geymdur yfir í hundruðasætið. Summan þar er því $b+c=c$ svo að $b=0$ og þá er $c=8$. Talan okkar er því $abcd=1089$ og sjálfsagt að prófa svarið með því að reikna $9\cdot 1089=9000+720+81=9801$.

Athugum að við getum búið til myndina með hliðarlengd $n$ út frá mynd með hliðarlengd $n-1$ með því að raða þríhyrningum sem eru búnir til úr þremur eldspýtum á hvern punkt á einni hliðinni sem hefur lengd $n-1$. Ef $a_n$ táknar fjölda eldspýta sem þarf til að búa til mynd með hliðarlengd $n$, þá er því $a_n=a_{n-1}+3(n-1)$. Fáum að $$ \begin{aligned} a_{10}&=a_9+3\cdot 9=a_8+3\cdot 8+3\cdot 9=\cdots=a_1+3\cdot (2+3+\cdot+10)\\ &=3\cdot (1+2+\cdots+10)=3\cdot 5\cdot 11=150+15=165. \end{aligned} $$

Látum $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta þríhyrningsins og $O$ vera miðpunkt umritaða hringsins. Látum $D$ vera fótpunkt hæðarinnar á $A B$. Látum $x$ vera hliðarlengd þríhyrningsins og $h$ vera hæð hans.

Lausn 1: Þar sem þríhyrningurinn er jafnarma, þá eru hæðirnar jafnframt miðlínur. Nú er það vel þekkt staðreynd að miðlínur í þríhyrningi skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$ og því er hæð þríhyrningsins $$|C D|=|C O|+|O D|=|C O|+\frac{1}{2}|C O|=\frac{3}{2}.$$

Lausn 2: Þríhyrningarnir $A B O$, $B C O$ og $A C O$ hafa allir sama flatarmálið $\frac{1}{2}x(h-1)$. Flatarmál þríhyrningsins $A B C$, sem er $\frac{1}{2}xh$ er jafnt samanlögðu flatarmáli þríhyrninganna $A B O$, $B C O$ og $A C O$ og því er $$\frac{1}{2}xh=3\cdot \frac{1}{2}x(h-1).$$ Við fáum þá að $h=3(h-1)$ og því er $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 3: Þríhyrningarnir $A C D$ og $A O D$ eru rétthyrndir og regla Pýþagórasar gefur að $$ x^2=|A C|^2=|A D|^2+|C D|^2=\frac{1}{4}x^2+h^2$$ og $$ 1=|A O|^2=|A D|^2+|O D|^2=\frac{1}{4}x^2+(1-h)^2. $$ Samkvæmt fyrri jöfnunni er $x^2=\frac{4}{3}h^2$ og þegar við stingum inn í seinni jöfnuna fáum við að $$ 0=\frac{1}{3}h^2+(1-h)^2-1=\left(\frac{4}{3}h-2 \right)h $$ svo að $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 4: Þríhyrningarnir $A O D$ og $C A D$ eru einslaga svo að $$ \frac{1}{h-1}=\frac{|A O|}{|O D|}=\frac{|A C|}{|A D|}=\frac{x}{\frac{1}{2}x}=2$$ og því $h=\frac{3}{2}$.

Látum $D$ vera miðpunkt $B C$. Þar sem miðpunktur umritaðs hrings þríhyrnings er skurðpunktur miðþverla hliðanna, þá er $O D$ hornrétt á $B C$. Þar sem þríhyrningurinn $A B C$ er jafnarma með topphorn í $A$, þá liggur $A$ á miðþverli $B C$. En þá liggja punktarnir $A$, $O$ og $D$ allir á sömu línunni sem er hæðin á $B C$ í þríhyrningnum $A B C$. Höfum þá að flatarmál $A B O C$ er $$ \begin{aligned} |A B O C|&=|A B C|-|O B C|=\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|AD|-\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|O D| \\ &=\frac{1}{2}r(r+h)-\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}r^2 \end{aligned} $$ þar sem $h=|O D|$.