Hugtakasafn

Látum $A$ og $B$ vera mengi. Mengið sem samanstendur af öllum tvenndum af gerðinni $(a, b)$ þar sem $a \in A$ og $b \in B$ er táknað með $A \times B$ (lesið: $A$ kross $B$) og kallast faldmengi mengjanna $A$ og $B$. Það má rita á forminu \[ A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A \; og \; b \in B\}. \] Almennar er faldmengi $n$ mengja $A_1, A_2, \ldots, A_n$, þar sem $n \geq 3$ er náttúruleg tala, táknað með $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ og skilgreint sem mengið sem samanstendur af öllum $n$-undum af gerðinni $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ þar sem $a_i \in A_i$ fyrir öll $1 \leq i \leq n$. Það má rita á forminu \[ A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1,a_2,\ldots,a_n) \mid a_i \in A_i \;\text{fyrir öll}\; 1 \leq i \leq n \}. \] Til að einfalda rithátt er faldmengið $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ oft ritað á forminu $\prod_{i=1}^n A_i$ og fyrir sérhvert mengi $A$ er faldmengið $\prod_{i=1}^n A$ jafnframt táknað með $A^n$.

Faldmengi eru dreifin yfir sam- og sniðmengi, þ.e. fyrir öll mengi $A$, $B$ og $C$ gildir annars vegar að \[ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \quad \text{og} \quad (B \cup C) \times A = (B \cup A) \times (C \cup A), \] og hins vegar að \[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \quad \text{og} \quad (B \cap C) \times A = (B \cap A) \times (C \cap A). \] Eins og myndin að neðan sýnir má jafnframt rita sniðmengi faldmengja sem faldmengi sniðmengja, þ.e. fyrir öll mengi $A$, $B$, $C$ og $D$ gildir: \[ (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D). \]

Hins vegar eru faldmengi ekki víxlin, þ.e. $A \times B$ og $B \times A$ eru almennt ekki sama mengið, eins og fyrra dæmið að neðan sýnir.