Nota má rauntöluaðgerðirnar fjórar til að smíða ný föll út frá gefnum föllum.
Samlagning (falla)
Samlagning falla er reikniaðgerð sem úthlutar föllunum $f: X \to \mathbb{R}$ og $g: X \to \mathbb{R}$ fallinu $(f+g): X \to \mathbb{R}$ með forskriftina \[ (f+g)(x) = f(x) + g(x). \] Fallið $(f+g)$ kallast summa fallanna $f$ og $g$.
Dæmi:
- Látum $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vera föll með forskriftirnar $f(x) = 4x+3$ og $g(x) = x^2 + 1$. Þá er summa fallanna $f$ og $g$ fallið $(f+g): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sem hefur forskriftina \[ (f+g)(x) = f(x) + g(x) = (4x+3) + (x^2+1) = x^2+4x+4. \]
Frádráttur (falla)
Frádráttur falla er reikniaðgerð sem úthlutar föllunum $f: X \to \mathbb{R}$ og $g: X \to \mathbb{R}$ fallinu $(f-g): X \to \mathbb{R}$ með forskriftina \[ (f-g)(x) = f(x) - g(x). \] Fallið $(f-g)$ kallast mismunur fallanna $f$ og $g$.
Dæmi:
- Látum $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vera föll með forskriftirnar $f(x) = 4x+3$ og $g(x) = x^2+1$. Þá er mismunur fallanna $f$ og $g$ fallið $(f-g): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sem hefur forskriftina \[ (f-g)(x) = f(x) - g(x) = (4x+3) - (x^2+1) = -x^2 + 4x + 2. \]
Margföldun (falla)
Margföldun falla er reikniaðgerð sem úthlutar föllunum $f: X \to \mathbb{R}$ og $g: X \to \mathbb{R}$ fallinu $(f \cdot g): X \to \mathbb{R}$ með forskriftina \[ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x). \] Fallið $(f \cdot g)$ kallast margfeldi fallanna $f$ og $g$.
Dæmi:
- Látum $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vera föll með forskriftirnar $f(x) = 4x+3$ og $g(x) = x^2+1$. Þá er margfeldi fallanna $f$ og $g$ fallið $(f \cdot g): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sem hefur forskriftina \[ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = (4x+3) \cdot (x^2+1) = 4x^3 + 4x + 3x^2 + 3 = 4x^3 + 3x^2 + 4x + 3. \]
Deiling (falla)
Deiling falla er reikniaðgerð sem úthlutar föllunum $f: X \to \mathbb{R}$ og $g: X \to \mathbb{R}$, þar sem $g(x) \neq 0$ fyrir öll $x$ úr $X$, fallinu $(f / g): X \to \mathbb{R}$ með forskriftina \[ \left(\frac{f}g\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}. \] Fallið $(f / g)$ kallast kvóti fallanna $f$ og $g$.
Dæmi:
- Látum $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vera föll með forskriftirnar $f(x) = 4x+3$ og $g(x) = x^2+1$. Nú er $g(x) = x^2 + 1 \gt 0$ fyrir öll $x \in \mathbb{R}$, svo kvóti fallanna $f$ og $g$ er fallið $(f / g): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ með forskriftina \[ \left(\frac{f}g\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{4x+3}{x^2+1}. \]