Hugtakasafn

Í þessari grein látum við bókstafina $m$ og $n$ standa fyrir tvær ákveðnar náttúrulegar tölur.

Skilgreining á margföldun

Segjum að við höfum nokkur jafnstór söfn af hlutum, þar sem fjöldi safna er $m$ og fjöldi hluta í hverju safni fyrir sig er $n$. Sameinum síðan innihald allra safnanna í nýtt safn, eins og myndin að neðan sýnir.

Heildarfjöldi hluta í nýja safninu kallast margfeldi talnanna $m$ og $n$, og það er táknað með $m \cdot n$ (lesið: $m$ sinnum $n$).

Það að finna margfeldið $m \cdot n$ kallast að margfalda saman tölurnar $m$ og $n$. Aðgerðin sem felst í því að margfalda saman tölurnar $m$ og $n$ kallast á sama hátt margföldun.

Endurtekin samlagning

Margföldun er hægt að lýsa á einfaldan hátt út frá samlagningu, eins og nú verður sagt frá.

Byrjum á að skoða margfeldið $2 \cdot n$. Samkvæmt skilgreiningunni á margföldun fæst $2 \cdot n$ með því að sameina tvö söfn af $n$ hlutum í nýtt safn og finna heildarfjölda hluta í því, eins og myndin að neðan sýnir.

Ef litið er til skilgreiningarinnar á samlagningu sést að nákvæmlega sama aðferð er notuð til að finna summuna $n+n$. Við sjáum þá að \cdot n$ er sama talan og $n+n$, þ.e.: \[ 2 \cdot n = n + n. \]

Skoðum nú margfeldið $3 \cdot n$. Samkvæmt skilgreiningunni á margföldun fæst $3 \cdot n$ með því að sameina þrjú söfn af $n$ hlutum í nýtt safn og finna heildarfjölda hluta í því, eins og myndin að neðan sýnir.

Þetta er nákvæmlega sama aðferð og notuð er til að finna summuna $n+n+n$. Við sjáum þá að $3 \cdot n$ sama talan og $n+n+n$, þ.e.: \[ 3 \cdot n = n + n + n. \]

Með nákvæmlega sama hætti fáum við:

• $4 \cdot n = n + n + n + n$,
• $5 \cdot n = n + n + n + n + n$,
• $6 \cdot n = n + n + n + n + n + n$, o.s.frv.

Niðurstöður umfjöllunarinnar að ofan getum við tekið saman í eftirfarandi setningu:

Margföldunaraðferðir

Nú skulum við skoða nokkrar algengar aðferðir sem hægt er að nota til að draga n frá m.

1. Samkvæmt skilgreiningu

Í fyrsta lagi er hægt að fara beint eftir skilgreiningunni. Þá ímyndum við okkur að við höfum samtals $m$ söfn af $n$ hlutum, til dæmis eplum. Sameinum síðan öll þessi söfn í nýtt safn og finnum fjölda þess.

Dæmi:   Margföldum saman tölurnar $5$ og $3$. Þá ímyndum við okkur að við höfum $5$ söfn af appelsínum, þar sem hvert safn inniheldur $3$ appelsínur.

Síðan sameinum við appelsínurnar í nýtt safn og teljum fjölda þeirra, eins og myndin að neðan sýnir.

Þá sjáum við að heildarfjöldi hluta í nýja safninu er $15$.

Samkvæmt skilgreiningu á margföldun þýðir þetta að margfeldi talnanna $5$ og $3$ er $15$, sem skrifa má svona með táknmáli: \[ 5 \cdot 3 = 15. \]

2. Talning

Hugsum okkur að við byrjum að telja eins og venjulega ($1$, $2$, $3$, $4$ o.s.frv.), en að við strikum undir $n$-tu hverja tölu sem við teljum. Fyrsta talan sem við strikum undir er þá einfaldlega $n$. Önnur talan sem við strikum undir er $n+n = 2 \cdot n$, því þá höfum við talið $n$ tölur upp frá $n$. Þriðja talan sem við strikum undir er $n+n+n = 3 \cdot n$, því þá höfum við talið $n$ tölur upp frá $n+n$. Á sama hátt sjáum við:

• Fjórða talan sem við strikum undir $n+n+n+n=4 \cdot n$.
• Fimmta talan sem við strikum undir er $n+n+n+n+n = 5 \cdot n$.
• Sjötta talan sem við strikum undir er $n+n+n+n+n+n = 6 \cdot n$.

Þetta má alhæfa á eftirfarandi hátt: Ef við strikum undir $n$-tu hverju tölu sem við teljum, þá er $m$-ta talan sem við strikum undir einfaldlega talan $m \cdot n$.

3. Skref á talnalínu

Hugsum okkur að við byrjum í tölunni $0$ á talnalínunni, og gerum það aftur og aftur að taka $n$ skref áfram. Eftir að hafa gert þetta einu sinni höfum við augljóslega tekið alls $n$ skref. Eftir að hafa gert þetta tvisvar höfum við tekið $n+n = 2 \cdot n$ skref frá $0$, því þá höfum við bætt $n$ skrefum við $n$ skrefin sem við höfðum þegar tekið. Eftir að hafa gert þetta þrisvar höfum við tekið $n+n+n = 3 \cdot n$ skref frá $0$, því þá höfum við bætt $n$ skrefum við $n+n$ skrefin sem við höfðum þegar tekið. Á sama hátt sjáum við:

• Eftir að hafa gert þetta fjórum sinnum höfum við tekið $n+n+n+n=4 \cdot n$ skref frá $0$.
• Eftir að hafa gert þetta fimm sinnum höfum við tekið $n+n+n+n+n=5 \cdot n$ skref frá $0$.
• Eftir að hafa gert þetta sex sinnum höfum við tekið $n+n+n+n+n+n=6 \cdot n$ skref frá $0$.

Þetta má alhæfa á eftirfarandi hátt: Ef við byrjum í $0$ á talnalínunni og gerum það $m$ sinnum að taka $n$ skref áfram, þá höfum við alls tekið $m \cdot n$ skref frá $0$. Vegna þess hvernig talnalínan er uppbyggð endar þetta ferðalag í þeim punkti talnalínunnar sem tilheyrir tölunni $m \cdot n$, svo við getum fundið margfeldi talnanna $m$ og $n$ með því að að skoða hvar við lendum.

Dæmi:   Segjum að við ætlum að margfalda $5$ með $3$ með því að nota talnalínuna. Byrjum þá í tölunni $0$ á talnalínunni og stígum $3$ skref áfram fimm sinnum.

Þessi talnalína gefur okkur ýmsar upplýsingar:

• $2 \cdot 3 = 6$, því við lendum í tölunni $6$ eftir að hafa tvisvar tekið $3$ skref áfram.
• $3 \cdot 3 = 9$, því við lendum í tölunn $9$ eftir að hafa þrisvar tekið $3$ skref áfram.
• $4 \cdot 3 = 12$.
• $5 \cdot 3 = 15$.

Sér í lagi sjáum við að $5 \cdot 3 = 15$, sem er einmitt það sem við vildum finna.