Hugtakasafn

Í þessari grein látum við $b$ standa fyrir einhverja ákveðna náttúrulega tölu, aðra en $0$.

Skilgreining á stofnbroti

Gerum ráð fyrir að einhver tiltekin heild sé gefin. Þessi heild getur til dæmis verið svæði eins og rétthyrningur eða hringur, hún getur verið hópur af hlutum eins og eplum, appelsínum eða mönnum, o.s.frv. Í bili skulum við gera ráð fyrir að heildin sé rétthyrningurinn á myndinni að neðan.

Skiptum heildinni nú í $b$ jafna hluta, eins og myndin að neðan sýnir.

Hér höfum við áhuga á að svara eftirfarandi spurningu:

Hversu stór er hver og einn af þessum hlutum miðað við heildina?

Til að svara spurningunni innleiðum við táknið $\frac1b$, sem við lesum „einn á móti $b$“ eða „einn $b$-ti“. Við látum sem sagt $\frac1b$ tákna stærð hvers hluta á myndinni að neðan miðað við heildina.

Í samræmi við umfjöllunina að framan skilgreinum við stofnbrot á eftirfarandi hátt:

Vert er að athuga að í skilgreiningunni er ekkert sagt um hvernig heildin eigi að vera, svo hún getur til dæmis verið hvaða rétthyrningur sem er, hvaða hringur sem er, einhver hópur af eplum, appelsínum eða mönnum, o.s.frv.

Dæmi:

Látum heildina vera rétthyrninginn á myndinni að neðan og skiptum henni í $3$ jafna hluta. Þá getum við annaðhvort sagt að stærð hvers hluta miðað við heildina sé $\frac13$ (lesið: „einn á móti þremur“ eða „einn þriðji“), eða að hver hluti sé $\frac13$ af heildinni.

Dæmi:

Látum nú heildina vera hringinn á myndinni að neðan og skiptum henni í $8$ jafna hluta. Þá getum við annaðhvort sagt að stærð hvers hluta miðað við heildina sé $\frac18$ (lesið: „einn á móti átta“ eða „einn áttundi“), eða að hver hluti sé $\frac18$ af heildinni.

Dæmi:

Gerum loks ráð fyrir að heildin sé eftirfarandi hópur af $20$ appelsínum.

Skiptum heildinni í $5$ jafna hluta, eins og myndin að neðan sýnir. Þá getum við ýmist sagt að stærð hvers hluta miðað við heildina sé $\frac15$ (lesið: „einn á móti fimm“ eða „einn fimmti“), eða að hver hluti sé $\frac15$ af heildinni.

Þar sem hver hluti samanstendur af $4$ appelsínum getum við einnig orðað þetta svona: $4$ appelsínur eru $\frac15$ af $20$ appelsínum.

Eiginleikar stofnbrota

Stofnbrot lýsa stærð miðað við tiltekna heild. Þessa tilteknu heild er hægt að velja á ýmsa vegu, eins og dæmin að framan sýna, og þess vegna er túlkun á stofnbrotinu $\frac1b$ háð því hvernig heildin er valin hverju sinni. Í dæminu hér að neðan verður sýnt að tveir hlutar af tveimur ólíkum heildum, sem hafa sömu stærðina miðað við heildina, geta verið misstórir innbyrðis.

Dæmi:   Segjum fyrst að heildin sé rétthyrningurinn á myndinni hér að neðan:

Skiptum heildinni í fjóra jafna hluta. Þá er stærð hvers hluta miðað við heildina gefin með $\frac14$.

Segjum nú að heildin sé annar rétthyrningur, nánar tiltekið rétthyrninginn á myndinni hér að neðan:

Skiptum heildinni síðan í fjóra jafna hluta. Þá er stærð hvers hluta miðað við heildina gefin með $\frac14$.

Önnur og fjórða myndin að ofan eiga það sameiginlegt að þar er stærð hvers hluta miðað við heildina gefin með $\frac14$. Hins vegar er greinilegt að hver hluti á fjórðu myndinni er stærri en hver hluti á annarri myndinni. Þetta helgast auðvitað af því að heildin er ekki sú sama í hvoru tilviki fyrir sig, heldur er heildin á fjórðu myndinni stærri en heildin á annarri myndinni.

Samkvæmt skilgreiningu á stofnbroti lýsir $\frac1b$ stærð hvers hluta miðað við tiltekna heild, þegar henni hefur verið skipt í $b$ jafna hluta. Vert er að taka eftir því að ekkert er sagt um hvernig skipting heildarinnar á að fara fram. Þess vegna er hægt að sjá brotið $\frac1b$ fyrir sér á ýmsa vegu eftir því hvernig skiptingin er framkvæmd.

Dæmi:   Segjum að heildin sé rétthyrningurinn á myndinni að neðan.

Skiptum heildinni fyrst í fjóra jafna hluta með þremur lóðréttum strikum, eins og myndin að neðan sýnir. Þá er stærð hvers hluta miðað við heildina gefin með $\frac14$.

Skiptum nú heildinni í fjóra jafna hluta með þremur láréttum strikum, eins og sýnt er á myndinni að neðan. Þá er stærð hvers hluta miðað við heildina gefin með $\frac14$.

Skiptum heildinni loks í fjóra jafna hluta með einu lóðréttu og einu láréttu striki, eins og myndin að neðan sýnir. Þá gildir eins og áður að stærð hvers hluta miðað við heildina er $\frac14$.

Síðustu þrjár myndir eiga það allar sameiginlegt að þar er stærð hvers hluta miðað við heildina gefinn með $\frac14$. Hér höfum við þess vegna séð hvernig túlka má brotið $\frac14$ á þrjá ólíka vegu eftir því hvernig heildinni er skipt.