- Einslaga þríhyrningar
Einshyrndir (þríhyrningar)
Tveir þríhyrningar eru einshyrndir ef hægt er að para horn annars þríhyrningsins við horn hins þríhyrningsins þannig að hornin í sama pari eru jafn stór.
Þegar sagt er að tilteknir þríhyrningar $ABC$ og $EFG$ séu einshyrndir, þá eru hornpunktarnir yfirleitt taldir upp í sömu röð þannig að:
$\angle A$ og $\angle E$ eru jafn stór (grænu hornin á myndinni),
$\angle B$ og $\angle F$ eru jafn stór (gulu hornin á myndinni) og
$\angle C$ og $\angle G$ eru jafn stór (rauðu hornin á myndinni).
Þetta er táknað $ABC\sim EFG$.
Dæmi: Í evklíðskri sléttu eru tveir þríhyrningar. Í öðrum þeirra er horn sem er $30^\circ$ og annað sem er $60^\circ$. Í hinum er horn sem er $60^\circ$ og annað sem er $90^\circ$. Eru þríhyrningarnir einshyrndir?
Lausn: Svarið er já. Til að sjá af hverju, þá notfærum við okkur að hornasumma þríhyrnings í evklíðskri sléttu er alltaf $180^\circ$. Ótilgreinda hornið í fyrri þríhyrningnum er því \[180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\] og ótilgreinda hornið í seinni þríhyrningnum er \[180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ.\] Báðir þríhyrningarnir hafa því horn sem eru $30^\circ$, $60^\circ$ og $90^\circ$. Við ályktum að þeir eru einshyrndir.
Eftirfarandi niðurstaða um einshyrnda þríhyrninga er einstaklega mikilvæg. Hún segir að tveir þríhyrningar eru einshyrndir þá og því aðeins að þeir séu einslaga. Eins og vanalega, þá er lengd mótlægrar hliðar hvers hornpunkts þríhyrnings táknuð með samsvarandi lágstaf.
Setning: Þríhyrningarnir $A B C$ og $A’B’C’$ eru einshyrndir þá og því aðeins að \[\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}.\]
Dæmi: Þríhyrningarnir $ABC$ og $A’B’C’$ eru einshyrndir. Ef hliðarlengdirnar $a=15$, $b=16$, $c=17$ og $a’=30$ eru þekktar, hverjar eru þá lengdir $b’$ og $c’$?
Lausn: Samkvæmt setningunni hér að ofan gildir að \[ \frac{30}{15}=\frac{b’}{16}=\frac{c’}{17}.\] Þar með fæst að $b’ = 32$ og $c’ = 34$.
Dæmi: Nokkrir krakkar eru uppi á Skólavörðuholti í Reykjavík. Hvernig geta þau mælt hæð turnsins á Hallgrímskirkju með venjulegu málbandi?
Lausn: Hugsum okkur að einhver standi út við styttuna af Leifi heppna. Þá getum við myndað þríhyrning sem hefur eftirfarandi hornpunkta:
einn hornpunktur er við auga þess sem stendur við styttuna af Leifi, punktur $A$,
annar hornpunktur er við topp turnsins, punktur $T$,
þriðji hornpunkturinn er á gólfinu í anddyri kirkjunnar, beint undir miðju turnsins, punktur $G$.
Einhver annar heldur málbandinu lóðrétt þannig að endapunktar þess, punktar $E$ og $N$, ásamt auga þess sem stendur við styttuna, mynda þríhyrning sem er einshyrndur $TGA$.
Ef sá sem stendur út við styttuna stendur á punkti $L$ og sá sem heldur á mælistikunni stendur á punkti $M$, þá er hægt að mæla lengdir strikanna $LM$ og $LG$. Þessi strik eru hæðir í þríhyrningunum og lengd þeirra má nota, ásamt lengd $EN$, til að reikna allar aðrar hliðar í þríhyrningunum.