Skip to Content

Samlagning (rauntalna)

Samlagning er reikniaðgerð á mengi rauntalna sem er táknuð með $+$ (lesið: plús) og úthlutar sérhverjum rauntölum $x$ og $y$ rauntölunni $x + y$ sem kallast summa $x$ og $y$. Tölurnar $x$ og $y$ kallast liðir summunnar. Til að einfalda rithátt er summa $n$ rauntalna $x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ oft rituð á forminu $\sum_{i=1}^n x_i$.

Samlagning rauntalna fullnægir eftirfarandi reiknireglum:

  • Hún er tengin, þ.e. fyrir öll $x,y,z \in \mathbb{R}$ gildir að \[ (x + y) + z = x + (y + z). \]
  • Hún er víxlin, þ.e. fyrir öll $x,y \in \mathbb{R}$ gildir að \[ x + y = y + x. \]
  • Talan $0$ er hlutleysa samlagningar, þ.e. fyrir öll $x \in \mathbb{R}$ gildir að \[ x + 0 = x \quad \text{og} \quad 0 + x = x. \] Af þessum sökum er $0$ kölluð núll eða samlagningarhlutleysa.
  • Sérhvert stak $x \in \mathbb{R}$ á sér umhverfu með tilliti til samlagningar, þ.e. fyrir sérhvert $x \in \mathbb{R}$ er til stak $y \in \mathbb{R}$ þannig að $x + y = 0$. Þetta stak kallast samlagningarumhverfa $x$ og er yfirleitt táknað með $- x$.
  • Margföldun er dreifin yfir samlagningu, þ.e. fyrir öll $x,y,z \in \mathbb{R}$ gildir að \[ x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \quad \text{og} \quad (y + z) \cdot x = y \cdot x + z \cdot x. \]

Frádráttur (rauntalna)

Frádráttur er reikniaðgerð á mengi rauntalna sem er táknuð með $-$ (lesið: mínus) og úthlutar sérhverjum rauntölum $x$ og $y$ rauntölunni $x - y$. Þessi rauntala kallast mismunur $x$ og $y$ og hún fæst með því að leggja $x$ við samlagningarumhverfu $y$, þ.e. \[ x - y = x + (-y). \]

Margföldun (rauntalna)

Margföldun er reikniaðgerð á mengi rauntalna sem er táknuð með $\cdot$ (lesið: sinnum) og úthlutar sérhverjum rauntölum $x$ og $y$ rauntölunni $x \cdot y$ sem kallast margfeldi $x$ og $y$. Tölurnar $x$ og $y$ kallast þættir margfeldisins. Til að einfalda rithátt er margfeldi $n$ rauntalna $x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n$ oft ritað á forminu $\prod_{i=1}^n x_i$.

Margföldun rauntalna fullnægir eftirfarandi reiknireglum:

  • Hún er tengin, þ.e. fyrir öll $x,y,z \in \mathbb{R}$ gildir að \[ (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z). \]
  • Hún er víxlin, þ.e. fyrir öll $x,y \in \mathbb{R}$ gildir að \[ x \cdot y = y \cdot x. \]
  • Talan $1$ er hlutleysa margföldunar, þ.e. fyrir öll $x \in \mathbb{R}$ gildir að \[ x \cdot 1 = x \quad \text{og} \quad 1 \cdot x = x. \] Af þessum sökum er $1$ kölluð einn eða margföldunarhlutleysa.
  • Sérhvert stak $x \in \mathbb{R}$ þannig að $x \neq 0$ á sér umhverfu með tilliti til margföldunar, þ.e. fyrir sérhvert $x \neq 0$ er til stak $y \in \mathbb{R}$ þannig að $x \cdot y = 1$. Þetta stak kallast margföldunarumhverfa $x$ og er yfirleitt táknað með $x^{-1}$ eða $1/x$.
  • Margföldun er dreifin yfir samlagningu, þ.e. fyrir öll $x,y,z \in \mathbb{R}$ gildir að \[ x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \quad \text{og} \quad (y + z) \cdot x = y \cdot x + z \cdot x. \]

Deiling (rauntalna)

Deiling er reikniaðgerð á mengi rauntalna sem er táknuð með $/$ eða $:$ (lesið: deilt með) og úthlutar sérhverjum rauntölum $x$ og $y \neq 0$ rauntölunni $x/y$. Þessi rauntala kallast kvóti $x$ og $y$ og hún fæst með því að margfalda $x$ við margföldunarumhverfu y, þ.e. \[ x / y = x \cdot (1/y). \]